Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

195. Установившиеся процессы.

Скажем сперва несколько слов об установившихся процессах, когда внешние факторы, действующие на цепь, либо 1) постоянны, либо 2) являются синусоидальными величинами, причем в первом случае мы будем считать v и независящими от

В первом случае уравнения (1) и (2) дают нам

Дифференцируя первое из этих уравнений по и принимая во внимание второе, получим

Функция v определяется сразу по способу, указанному в [28], и мы находим

где

Определив v, находим I из первого из уравнений (6)

Примеры. 1. В случае цепи под постоянным напряжением Е на одном конце и накоротко замкнутой на другом мы имеем условия (S), из которых определятся произвольные постоянные, входящие в формулу (8):

откуда

и, подставляя в формулу (8), получим

и формула (9) дает

2. Пусть теперь на нашу цепь действует синусоидальная внешняя электродвижущая сила определенной частоты мы можем тогда перейти от действительных физических величин к векторам, как это было сделано в [I, 180], и под вынужденными колебаниями будем понимать синусоидальные колебания напряжения и тока цепи той же частоты Вспомнив правила из [I, 180] и введя векторы тока I и напряжения V, которые в рассматриваемом случае зависят от мы перепишем систему дифференциальных уравнений (1) и (2) в виде

Дифференцируя первое из этих уравнений по и пользуясь вторым, исключим 1 и получим

и совершенно такое же уравнение, как нетрудно показать, можно получить и для .

Стало быть, 1 и V являются решениями одного и того же дифференциального уравнения порядка. Применяя способ [28] и положив

имеем

где — произвольные постоянные векторы. Подставив это в первое из уравнений (11), определим вектор

Для окончательного решения задачи нужно определить постоянные векторы что можно сделать, воспользовавшись двумя предельными условиями (о начальных условиях здесь, конечно, говорить не приходится), причем вместо того, чтобы дать по одному условию для каждого конца в отдельности, можно задать два условия для одного и того же конца, например, задать там и вектор напряжения и вектор тока.

Как бы то ни было, формулы (13) и (14) определяют векторы вынужденных колебаний, которые зависят от т. е. меняются вдоль цепи как по амплитуде, так и по фазе. Изображая каждый вектор точкой на плоскости комплексной переменной и меняя от 0 до мы получим для V и I две кривые — векторные диаграммы напряжения и тока. При определении вида этих кривых нужно помнить, что есть, вообще говоря, число комплексное; положив

мы имеем

Каждое из слагаемых в правой части дает спираль [I, 183], и V получается путем геометрического сложения этих двух спиралей; радиус-вектор точки кривой V, соответствующий какому-нибудь значению равен геометрической сумме радиусов-векторов точек этих двух спиралей при том же

значении х. То же можно сказать и относительно вектора I. Вводя множитель

который называется волновым сопротивлением, можно написать выражение для V и I в виде

Если мы перейдем от векторной формы к обычной, то получим для искомых функций v и I выражения вида

которые и дают гармонические колебания той же частоты , что и у внешней силы, и в которых амплитуды и фазы зависят от положения рассматриваемого сечения цепи.

3. Цепь под синусоидальным напряжением на одном конце и открытая на другом. Данный на конце вектор напряжения обозначим через V0. Кроме уравнений (11), мы имеем еще предельные условия

которые, в силу формул (16), дают нам

Решая эти уравнения и подставляя в (16), находим без труда

При мы получаем комплексное сопротивление в точке в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление