Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

197. Примеры.

Если конец открыт, то условие

дает нам в силу (30)

или, заменив на

т. е. в этом конце волна отражается, оставаясь неизменной и по величине и по знаку, так как функция есть четное продолжение функции . То же, понятно, получится, если открытый конец будет в точке

Если конец накоротко замкнут, т. е.

то, принимая во внимание (30) и заменяя на , получим

т. е. волна отражается, сохраняя абсолютную величину, но меняя знак, ибо функция есть нечетное продолжение функции Дальнейшее продолжение идет так же, как и в случае струны.

1. В открытую на конце цепь включается переменный гармонический ток частоты со. Окончательно установившемуся состоянию (II) будут соответствовать гармонические колебания частоты которые были выведены выше [195]:

Если до включения цепь была пуста, то мы имеем

Поэтому, в силу формул (19), начальные условия будут

Предельные условия будут следующие: на открытом конце должно быть

На конце мы можем считать

ибо в рассматриваемом устанавливающемся процессе нас интересуют только те колебания, которые происходят от различия начальных условий цепи С вынужденными колебаниями частоты . По формулам (31) определяем функции , а затем продолжаем их нечетным образом через конец и четным — через конец

Рассмотрим затухающий процесс, происходящий при начальных условиях

где Е — постоянная, и при предельных условиях

Формулы (31) дают

а из предельных условий получаем

откуда видно, что продолжает в промежуток функцию четным образом, а функция продолжает в промежуток

функцию нечетным образом, т. е.

Заменяя во втором из уравнений на и сравнивая полученное равенство с первым из равенств (32), будем иметь

и точно так же нетрудно получить

т. е. функции при прибавлении к аргументу менятет знак, и периодом для них будет только .

Рис. 131.

Сопоставляя все сказанное, нетрудно видеть, что функции и W совпадают и имеют график, изображенный на рис. 131.

Для получения значений v и I мы двигаем этот график со скоростью а налево и направо и берем полусумму ординат, умноженную на для и полуразность, умноженную на для i.

Рис. 132.

На рис. 132 изображен график напряжения на конце причем к свободному колебанию v прибавлено установившееся Буква обозначает период свободного колебания.

Если на конце включены омическое сопротивление самоиндукция и емкость то условие (4) дает следующее соотношение для продолжения функции в промежуток

Если заменить в нем аргумент на , то оно превращается в дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции

Аналогичный результат мы получаем, пользуясь предельным условием на конце и для продолжения в промежуток

3. В конце включено только омическое сопротивление . Равенство (33) заменяется тогда следующим:

откуда, вводя вместо определяем

Таким образом в данном случае при отражении в конце волна умножается на множитель q. Очевидно, что , т. е. волна уменьшается по абсолютному значению, и происходит поглощение. При этот множитель обращается в нуль, и происходит полное поглощение волны; при множитель и мы получаем отражение волны без изменения, что и следовало ожидать, так как этот случай равносилен открытому (не замкнутому) контуру.

Продолжив таким путем в промежуток и соответственным образом в промежуток мы по формуле (34) продолжаем в промежуток и т. д.

При этом, конечно, мы уже не получаем периодической функции, и если , то при последовательных отражениях будет происходить все более и более сильное поглощение волны. Функция будет определена таким образом при функция же но это только нам и нужно, так как аргументы от которых зависят как раз удовлетворяют этим неравенствам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление