Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Система уравнений первого порядка с неизвестными функциями в разрешенном относительно производных виде будет;

Решением системы (29) называется совокупность функций таких, что при подстановке их в уравнения системы (29) эти уравнения обращаются в тождества относительно . Предполагается, естественно, что функции непрерывны и имеют непрерывные производные. Как и в случае одного уравнения порядка, имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме А из [2]. Начальные условия имеют вид

и вместо значений аргументов надо говорить о значениях аргументов

Далее мы остановимся на общих понятиях, касающихся системы (29). Выше мы это делали для одного уравнения, и здесь мы не будем касаться подробностей. Поскольку мы можем менять в условиях (30) значения решение, получаемое согласно теореме А, содержит произвольных постоянных.

Произвольные постоянные могут входить в решения не как начальные данные но и в общей форме

Придавая постоянным определенные численные значения, будем получать частные решения системы (29). Чтобы выделить из семейства общего интеграла (31) решение, удовлетворяющее начальным условиям (30), надо определить из уравнений

и подставить найденные значения в формулы (31). Если произвольные постоянные Q суть и удовлетворены условия теоремы А, то можно показать, что уравнения (31) разрешимы относительно Q, так что общий интеграл может быть записан в виде

Для уравнений первого порядка мы имели одно такое равенство [9]. Здесь каждое из равенств (33) называется первым интегралом, или, просто, интегралом системы (29).

При решении системы мы, естественно, находим не сразу интегралов системы, но нахождение каждого отдельного интеграла облегчает нам, как мы увидим, дальнейшее интегрирование системы. Укажем определение отдельного интеграла системы.

Соотношение

называется интегралом системы (29), если функция отлична от постоянной и при подстановке в нее любого решения системы (29) она обращается в постоянную. Говоря о «любом» решении системы (29), мы подразумеваем все решения, которые получаются согласно теореме А в какой-либо области изменения начальных данных. Значение этой постоянной различно при различном выборе начальных данных (произвольная постоянная Х

Положим, что мы имеем несколько интегралов системы (29)

где k — число интегралов. Любая из функций обращается в постоянную при подстановке вместо любого решения системы (29). Если мы возьмем произвольную функцию от левых частей равенств (35), то и эта функция обратится в постоянную при подстановке вместо любого решения системы, т. е. мы имеем интеграл системы

Иначе говоря, любая функция левых частей интегралов системы есть также интеграл системы. Интеграл (36) есть очевидное следствие интегралов (35). Предыдущее рассуждение требует некоторых оговорок, а именно надо оговорить, что левые части всех равенств (35) обращаются в постоянную при подстановке в них решений получаемых, согласно теореме А, из некоторой одной и той же области изменения начальных данных.

При подсчете числа произвольных постоянных в решении (31) существенно, чтобы невозможно было свести их число к меньшему. Например, в формулах

три произвольные постоянные можно свести к двум, полагая . Критерий того, что этого сделать нельзя и что формулы (31) дают общий интеграл системы (29), заключается в том, что соответствующим подбором произвольных постоянных мы можем удовлетворить любым начальным данным из некоторой области их изменения, т. е. что система (32) разрешима относительно для некоторой области изменения величин Мы считаем, естественно, при этом, что правые части системы (29) удовлетворяют условиям теоремы А.

Мы можем переписать систему (29) в виде пропорционального ряда

Умножая все знаменатели на один и тот же множитель, мы получим и в первом отношении знаменатель не единицу, а некоторую функцию от и обозначая для симметрии переменные буквами перепишем систему (29) в виде:

где — функции переменных . Запись системы (29) в виде (38) удобна в силу своей симметрии. При этом не фиксировано, какая именно из переменных считается независимой переменной. Предположим, что в некоторой области изменения переменных все функции непрерывны и имеют непрерывные производные по всем независимым переменным. Положим, кроме того, что в некоторой точке из этой области функция отлична от нуля. При этом, в силу непрерывности, она будет отличной от нуля и в окрестности этой точки, и для системы уравнений

будет применима в окрестности теорема А.

Особыми будут лишь те точки, в которых все обращаются в нуль.

Мы использовали выше при любом целом положительном геометрические термины «точка», «окрестность точки», «область». При это геометрически наглядно. В общем случае эти понятия аналитически определяются аналогично тому, как это делается, например в трехмерном пространстве, при помощи прямолинейных прямоугольных координат. Мы вернемся к этому в дальнейшем. Интеграл системы (38) имеет вид

Положим, что мы имеем интегралов

Они называются независимыми, если эти равенства разрешимы относительно каких-либо из переменных . Это решение дает нам функций одной независимой переменной и произвольных постоянных, т. е. формулы, аналогичные формулам (31), а в виде (33 эти формулы разрешены относительно произвольных постоянных, т. е. независимых интегралов системы (38) дают общий интеграл системы. Все это относится, как всегда, к некоторой области изменения переменных.

Можно показать, что независимость интегралов (33 равносильна тому, что между левыми частями этих интегралов не существует никакого соотношения вида

тождественного относительно . Предполагается, естественно, что все интегралы определены в одной и той же области изменения переменных.

В предыдущем мы не дали никакого признака, по которому можно было бы судить, что интегралы суть независимые интегралы. Рассмотрим случай

Вспоминая теорему о неявных функциях [I, 159], можем утверждать, что для разрешимости уравнений (39) относительно достаточно, чтобы выражение

было отлично от нуля. Аналогичный результат будет иметь место относительно переменных Предполагая непрерывными с их производными первого порядка, можно доказать, что необходимое и достаточное условие независимости интегралов (39) сводится к тому, чтобы по крайней мере одно из выражений

было не равно тождественно нулю.

Б третьем томе мы вернемся к вопросу о независимости систем функций с любым числом переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление