Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

216. Стержень, ограниченный с обоих концов.

Мы исследуем один из наиболее типичных случаев, когда на конце х = 0 поддерживается температура

на конце тепло излучается в окружающую среду с температурой нуль:

начальная температура:

Задача эта решается весьма просто по способу Фурье.

Так как здесь имеются предельные условия, то мы подчиним найденное выше решение

условиям (30) и (31), что дает нам

откуда имеем, отбрасывая постоянный множитель В,

и

Полагая получаем трансцендентное уравнение

Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней [37], из которых мы обратим внимание только на положительные:

Этим корням соответствует бесчисленное множество значений

а им, в свою очередь, — бесчисленное множество частных решений уравнения (S)

удовлетворяющих предельным условиям.

Для того чтобы удовлетворить начальным условиям, ищем и в виде

и при получаем

где мы обозначили . Докажем, что функции ортогональны.

Напишем для двух из них соответствующие дифференциальные уравнения (8)

Умножая первое почленно на второе на вычитаем почленно полученные уравнения и интегрируем по промежутку :

Интегрируя в первом интеграле по частям, получим

Но удовлетворяют предельным условиям (30) и (31), т. е.

В силу этих равенств внеинтегральный член формулы (41) обращается в нуль, и, принимая во внимание, что при различных , мы получаем

Установив ортогональность, мы обычным приемом убеждаемся в том, что в разложении (40) коэффициенты должны определяться формулой

Это решает задачу разложения функции по функциям и вместе с тем дает решение поставленной выше задачи в виде ряда (39). В томе IV мы покажем, что система функций которые получаются, как выше, в результате применения метода Фурье к основным задачам математической физики, есть замкнутая система, и что при некоторых предположениях относительно эта функция разлагается в основном промежутке в равномерно сходящийся ряд по функциям . Отметим, что если бы вместо предельных условий (30) и (31) мы взяли предельные условия при и при то получили бы и пришли к обычному ряду Фурье по синусам.

При исследовании распространения тепла в кольце мы, вместо предельных условий, должны поставить условие периодичности температуры. Считая радиус кольца равным единице, так что длина всего кольца есть и обозначая через длину кольца, отсчитываемую от некоторой точки, мы приходим к решению вида

где

- ряд Фурье начального распределения температуры в кольце.

Достаточные условия для того, чтобы полученный здесь для и ряд действительно решал рассматриваемую задачу, будут даны в томе IV.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление