Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.

Линейным неоднородным уравнением второго порядка называется уравнение вида

Если непрерывны в некотором промежутке , то мы имеем, как будет дальше доказано, совершенно такую же теорему существования и единственности, что и для однородного уравнения (1). В дальнейшем мы будем рассматривать решения уравнения (10) в промежутке непрерывности .

Пусть есть частное решение этого уравнения, так что

Введем вместо и новую функцию у:

Подстановка в уравнение (10) дает

или в силу (11)

Это последнее уравнение называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (10). Если и — его два линейно независимых решения, то, согласно формуле (12) и предложению предыдущего номера, формула

где — произвольные постоянные, будет давать все решения уравнения (10). Свойство это можно формулировать так: общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Приведенное выше доказательство годится, очевидно, и для линейных неоднородных уравнений любого порядка, так что и для них имеет место высказанное свойство.

Зная два линейно независимых решения однородного уравнения (13), можно, как мы сейчас увидим, найти и частное решение уравнения (10), а следовательно, и общее решение. Мы применим при этом способ, который называется способом изменения произвольных постоянных Лагранжа

Пусть и — два линейно независимых решения уравнения (13). Его общее решение выражается, как известно, по формуле (2). Будем искать решение уравнения (10) в том же виде, считая только не постоянными, а искомыми функциями от

Имея не одну, а две искомые функции мы можем подчинить их, кроме уравнения (10), еще одному условию. Поставим следующее условие:

Дифференцируя выражение (14) и пользуясь условием (15), будем плеть

Подставив в левую часть уравнения (10), получим

Принимая во внимание, что суть решения однородною уравнения (13), и вспоминая условие (15), будем иметь алгебраическую систему уравнений первой степени

для определения

Ввиду линейной независимости решений :

а потому система (16) дает вполне определенные выражения для . Выполняя квадратуры, найдем и подставляя в (14), получим решение уравнения (10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление