Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

27. Линейные уравнения высших порядков.

Линейные уравнения высших порядков обладают многими свойствами уравнения второго порядка. Мы их формулируем, не останавливаясь на доказательствах.

Линейным однородным уравнением порядка называется уравнение вида

Если — его решения, то и сумма

также будет решением при произвольных постоянных . Это доказывается совершенно так же, как и для уравнения второго порядка [26].

Теорема существования и единственности формулируется так же, как и для уравнения второго порядка, причем начальные условия имеют вид

Решения называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно соотношения

с постоянными коэффициентами среди которых есть отличные от нуля.

Если — линейно независимых решений уравнения, то формула

где С — произвольные постоянные, дает все решения этого уравнения. Располагая постоянными Q, можно получить решение, удовлетворяющее указанным выше начальным условиям.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение порядка имеет вид

Если — какое-либо решение этого уравнения и линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения формула

где — произвольные постоянные, дает общее решение уравнения (19).

При этом, если известны, то решение уравнения (19) может быть получено по формуле

где определяется из системы уравнений первой степени

Для читателя, знакомого с теорией определителей, можно указать необходимое и достаточное условие линейной независимости, совершенно аналогичное тому, которое мы дали выше для уравнений второго порядка. Пусть, как и выше, решения уравнения (17). Определителем Вронского этих решений называется следующий определитель порядка:

и для него можно доказать формулу, аналогичную формуле (5):

где значение при . Из этой формулы, как и выше, вытекает, что или тождественно равно нулю, или не обращается в нуль ни при каком значении Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений и состоит в том, что их определитель Вронского не равен тождественно нулю. При этом по любым начальным условиям вполне определяются произвольные постоянные формулы (18). Как и для уравнений второго порядка, теорема существования и единственности дает решение во всем том промежутке, где коэффициенты уравнения суть непрерывные функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление