Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

38. Символический метод.

Мы переходим теперь к изложению нового метода интегрирования одного линейного уравнения и систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Способ этот, соответственным образом обобщенный, применяется и к более сложным задачам. Сущность способа состоит в том, что мы будем обозначать символически операцию дифференцирования по независимой переменной t множителем Q стоящим слева от той функции, которую надо дифференцировать, так что если есть некоторая функция то

и вообще при любом целом положительном

Если а — постоянная, то, очевидно,

т. е. имеет место переместительный закон по отношению к произведению символического множителя на любой постоянный множитель

Если есть полином от D с постоянными коэффициентами

то операция определяется так:

Если и — два полинома и их произведение, принимая во внимание формулу (104) и очевидное равенство будем иметь

причем множители можно переставлять.

Точно так же имеем, очевидно,

и полученный результат не зависит от порядка слагаемых Таким образом, обычные правила сложения, вычитания и умножения распространяются и на введенные нами символические полиномы.

В силу (104) постоянный множитель можно выносить за знак символического полинома, т. е. наряду с формулой (104) мы имеем

но этого нельзя делать конечно, с множителем, зависящим от t. Докажем теперь следующую формулу:

где m — постоянная. Формула показывает, что множитель вида можно выносить за знак символического полинома, заменяя в этом последнем букву D суммой .

Выражение состоит из слагаемых вида и достаточно доказать формулу (105) для каждого такого слагаемого, т. е. достаточно доказать формулу

Применяя формулу Лейбница дифференцирования произведения, можем написать

где значки наверху в скобках указывают порядок производной, но и есть число сочетаний из s элементов по k. Принимая во

внимание, что можем написать, вынося за скобку:

Но правая часть совпадает с правой частью формулы (106). Таким образом, эта формула и формула (105) доказаны.

Определим теперь отрицательные степени D как операции обратные дифференцированию, т. е. определим как решение уравнения

причем, для того чтобы придать символу определенный смысл, условимся брать то решение написанного уравнения, которое удовлетворяет нулевым начальным условиям

Иначе говоря, будем считать [17]:

Общее решение уравнения (107) будет тогда [17]:

где — многочлен степени произвольными коэффициентами.

Более общую операцию определим, как решение уравнения

удовлетворяющее условиям (108) Чтобы найти это решение, введем вместо х новую неизвестную функцию z, полагая

Подставляя в уравнение (111) и пользуясь правилом, выраженным формулой (105), получим для z уравнение

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям

может быть определено по формуле (109), если только в ней заменить на

Но из формулы

вытекает, что если z удовлетворяет условиям (114), то х, определяемое по формуле (112), удовлетворяет условиям (108). Подставляя найденное выражение z в формулу (112), получим искомое решение уравнения (111)

Общее решение этого уравнения получим, если умножим общее решение уравнения (113) на т. е. это общее решение будет

где — многочлен от t степени с произвольными коэффициентами.

В частности, полагая получим общее решение уравнения

в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление