Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

42 Уравнение Эйлера.

Эта уравнение имеет вид

где - постоянные. Мы покажем, что око приводится к уравнению с постоянными коэффициентами, если ввести вместо t новую независимую переменную по формуле

Операцию дифференцирования по t будем по-прежнему обозначать символическим множителем Д а дифференцирование по — символическим множителем 8. Имеем, очевидно,

или» в символических обозначениях,

Применяя к левой части операцию а к правой равносильную ей операцию получим

Вынося множитель за знак , согласно правилу, выраженному формулой (111), будем иметь

Из этой формулы и формулы (142) подмечаем следующую общую формулу:

Надо доказать, что если эта формула справедлива для s символических множителей, то она справедлива и для множителей. Применяя к левой части формулы (143) которую мы считаем справедливой, операцию а к правой равносильную ей операцию получим

откуда, вынося за знак

что и доказывает справедливость формулы (143) при любом s. Заменяя в этой формуле на t, можем переписать ее в виде

Таким образом, в результате преобразования (141) всякое слагаемое в левой части уравнения (140) заменяется слагаемым

не содержащим независимой переменной , и мы получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами

Соответствующее ему характеристическое уравнение будет

и общее решение уравнения (145)

где - корни уравнения кратности этих корней и - многочлены степени с произвольными коэффициентами

Пользуясь соотношением (141) и возвращаясь к прежней переменной, получим решение уравнения (140)

Если все корни уравнения (146) простые, то решение уравнения (140) будет

Уравнение (146), как нетрудно видеть, получается, если непосредственно искать решение уравнения (140) в виде .

Если имеется неоднородное уравнение вида

где многочлен от степени , то, пользуясь преобразованием (141), нетрудно показать, что решение уравнения (149) можно искать в виде

где многочлен степени от и s — число корней уравнения (146), равных а.

Вместо уравнения (140) можно рассматривать более общее уравнение вида

В этом случае вместо формулы (141) надо воспользоваться следующей формулой преобразования переменных:

и вместо формулы (144) будет иметь место формула

с помощью которой уравнение (151) и приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление