Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

46. Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

Подставляя ряд (3), получим

откуда, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях получим

Полагая получим последовательно значения остальных коэффициентов

е. отличными от нуля будут лишь коэффициенты , у которых значок делится на 3, и мы можем написать

Построенное нами решение будет

Для построения второго решения положим Нетрудно, как и выше, показать, что это второе решение будет

Построенные степенные ряды будут сходящимися при всяком значении X.

Проверим это для ряда по признаку Даламбера [I, 121]. В нем отношение последующего члена к предыдущему будет

при лфбом значении абсолютное значение этого отношения стремится к нулю при беспредельном возрастании , откуда и вытекает абсолютная сходимость ряда.

2. Рассмотрим уравнение

Подставляя ряд (3), получим, приравнивая коэффициент при нулю, следующее соотношение между коэффициентами :

или

Полагая , получим решение

Совершенно так же, подставляя , получим

В рассматриваемом уравнении коэффициент при имеет корни а абсолютное значение обоих из этих корней равно единице. Отсюда вытекает, что ряды должны сходиться при .

Нетрудно проверить это по признаку Даламбера. Беря отношение последующего члена к предыдущему, например, для ряда получим с точностью до знака

Деля числитель и знаменатель на можем переписать абсолютное значение этого отношения в виде

При беспредельном возрастании это отношение стремится к и, очевидно, при , т. е., согласно признаку Даламбера, ряд абсолютно сходится при Очевидно также, что он расходится при если только а не равно целому четному числу, В последнем случае ряд обрывается и превращается в многочлен. Аналогичные заключения получаются и для ряда . Можно проверить, что решения выражаются через элементарные функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление