Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

62. Цилиндрические и сферические координаты.

Часто бывает удобно относить пространство не к прямолинейным прямоугольным координатам, а к другой системе координат. Наиболее употребительные из этих систем — цилиндрические и сферические координаты. В прямолинейной прямоугольной системе положение точки определяется ее тремя координатами , и точка эта находится на пересечении трех плоскостей: , параллельных координатным плоскостям. Таким образом в этом случае пространство как бы заполняется тремя семействами взаимно перпендикулярных плоскостей

где постоянные, и всякая точка пространства является точкой пересечения трех плоскостей различных семейств. Оставляя координату , введем вместо и у новые координаты полагая

Рис. 41.

Координата есть расстояние точки М до оси OZ и есть угол, образованный плоскостью, проходящей через ось OZ и точку М, с плоскостью XOZ (рис. 41), причем может меняться от 0 до и — от 0 до . Координаты называются цилиндрическими координатами точки М. Точкам оси OZ соответствует , а координата у них неопределенна.

Мы имеем в этом Случае следующие три семейства координатных поверхностей:

Первое семейство есть семейство круговых цилиндров, ось вращения которых есть ось OZ. Второе семейство есть семейство полуплоскостей, проходящих через ось OZ, и, наконец, третье семейство есть семейство плоскостей, параллельных плоскости, XOY.

Придавая переменным приращения и проводя по две близкие поверхности из каждого семейства, соответствующие взятым значениям переменных, получим элемент объема и цилиндрических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняется только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 42). С точностью до малых высших порядков такой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами

что дает выражение элемента объема в цилиндрических координатах

и вместе с тем выражение трехкратного интеграла в цилиндрических координатах

причем пределы интегрирования определяются по тем же принципам как и в случае прямоугольных координат.

Рис. 42.

Рис. 43.

Пример. Найти массу сегмента шара, наполненного неоднородной материей, плотность которой изменяется пропорционально расстоянию от основания сегмента (рис. 43). Поместим начало ординат в центр шара, за плоскость XOY примем диаметральную плоскость, параллельную основанию сегмента, ось OZ направим от начала координат к сегменту и обозначим через а радиус шара, через h высоту сегмента, через радиус основания сегмента.

Уравнение шара в цилиндрических координатах будет

Закон изменения плотности выразится формулой

где b и с — известные постоянные. Применение формулы (19) дает

Производя подстановку значений z и интегрирозание, что мы предоставляем сделать читателю, получим

где v есть объем сегмента.

Рассмотрим еще сферические координаты или, как иногда говорят полярные координаты в пространстве. Пусть М — некоторая точка пространства и ОМ — отрезок, проведенный из начала координат О в точку М.

Рис. 44.

Положение точки М можно определить следующими тремя величинами: длиною отрезка углом который полуплоскость, проходящая через ось OZ и точку М, образует с плоскостью XOZ; углом , который отрезок ОМ образует с положительным направлением оси OZ (рис. 44).

При этом может изменяться от 0 до угол f отсчитывается против часовой стрелки от оси ОХ и может изменяться от 0 до наконец, угол отсчитывается от положительного направления оси OZ и может изменяться от 0 до Опустим из точки М перпендикуляр MN на плоскость XOY и из основания этого перпендикуляра N опустим перпендикуляр NK на ось ОХ. Отрезки OK, KN, NM дают, очевидно, прямоугольные координаты точки М. Из прямоугольного треугольника ONM имеем

и, пользуясь еще прямоугольным треугольником ONK, получим окончательно формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим

Рассмотрим семейства координатных поверхностей

Первое семейство есть, очевидно, семейство сфер с центром в начале координат; второе — семейство полуплоскостей, проходящих через ось OZ, и третье — семейство круговых конусов, для которых осью вращения является ось OZ. Заметим, что началу координат О соответствует , а значение двух других координат и 0 неопределенно. Для всех точек, лежащих на оси OZ, будет неопределенной координата , а или .

Рис. 45.

Придавая переменным бесконечно малые приращения , получим элементарный объем в сферических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняется только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 45). С точностью до малых высших порядков такой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами так что выражение элемента объема в сферических координатах будет

откуда получаем выражение трехкратного интеграла в сферических координатах

Приведение трехкратного интеграла к повторным можно выполнить здесь, например, следующим образом: находим центральную проекцию объема из начала координат на сферу радиуса единица (рис. 46); пусть это будет область (с) [если начало координат внутри , то совпадает со всей поверхностью сферы].

Рис. 46.

Проведем радиусы-векторы через все точки ; в простейшем случае каждый такой луч будет иметь точку входа внутрь и выхода из (v); радиусы-векторы этих точек обозначим через случае, когда начало координат лежит внутри (v), полагаем Мы получим тогда

где известные функции 0 и . Пределы интегрирования по определяются по виду области .

Пример. Определить массу шара, состоящего из концентрических слоев различной плотности. Можем считать в данном случае, согласно условию, что плотность зависит только от р. Обозначим , что дает

Если плотность постоянна и равна единице, получаем выражение объема шара

Замечание. Множитель имеет весьма важное геометрическое значение: это есть элемент площади поверхности сферы радиуса единица, на которые она разбивается меридианами и параллельными кругами (рис. 47). Если мы будем разбивать поверхность сферы радиуса единица на элементы какой угодно формы, то получим

где есть область, в виде которой проектируется на поверхность сферы рассматриваемый объем при помощи центральной проекции из начала координат.

Рис. 47.

Построим элементарный конус, вершина которого в центре шара, а направляющая — контур элемента . Раствор этого конуса, который измеряется площадью называется телесным углом, под которым виден из центра элемент любой поверхности (S), вырезываемый из нее этим элементарным конусом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление