Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

69. Определение криволинейного интеграла.

Положим, что мы имеем в пространстве некоторую кривую которая имеет определенное направление (рис. 65). Пусть А — начало и В — конец этой кривой. Будем на кривой (I) отсчитывать длину дуги от начальной точки А. Положим, что на задана непрерывная функция .

Рис. 55.

Разделим на частей промежуточными точками: причем совпадает с . На каждом участке возьмем какую-нибудь точку и составим сумму

где — длина дуги кривой . Предел этой суммы при

беспредельном возрастании числа делений и беспредельном уменьшении каждого из участков называется криволинейным интегралом от функции по и обозначается так:

Положение переменной точки М кривой вполне определяется длиною дуги так что функцию можно считать функцией независимой переменной s, т. е. и интеграл (1) является обычным определенным интегралом

где - длина дуги кривой . Заметим, что кривая может быть и замкнутой, т. е. В может совпадать с А.

До сих пор мы не использовали того факта, что кривая имеет направление. В дальнейшем нам это будет важно. Отнесем пространство к прямолинейным прямоугольным осям. Положение переменной точки М определится координатами (х, у, z). Пусть — некоторая непрерывная вдоль кривой функция. Обозначим через — координаты точки и через проекцию направленного отрезка на ось ОХ. Величина может быть, конечно, и положительной и отрицательной и даже равной нулю. Составим сумму произведений не на , а на , т. е. сумму

Предел этой суммы называется криволинейным интегралом от по и обозначается так:

Совершенно аналогично определяются интегралы:

и

где — непрерывные функции вдоль . Складывая эти три интеграла, получим криволинейный интеграл общего

вида, который обозначается так:

По определению интеграл (2) является пределом суммы следующего вида:

где проекции отрезка на оси OY и OZ. Нетрудно установить связь между интегралом вида (2) и интегралом вида (1). Координаты переменной точки М кривой можно считать функциями длины дуги Производные этих функций дают, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной к кривой т. е.

где — направление касательной к в переменной точке М, имеющее то же направление, что и направление кривой. Символом мм обозначаем, как всегда, угол, образованный направлениями причем значение косинуса этого угла не зависит от направления его отсчета, которое мы в данном случае и не фиксируем. С точностью до малых высших порядков можно считать, что

где — направление касательной в точке и интеграл (2), как предел суммы (3), приводится к виду (1):

где можно считать функциями s вдоль .

Пусть имеется уравнение кривой в параметрической форме:

причем при изменении параметра z от а до b точка описывает кривую от А до В. Мы будем считать, что функции (5) непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка промежутке причем для определенности мы считаем

Положим, что точкам соответствуют значения параметра . Рассмотрим первую из сумм (3). Пусть значение параметра,

соответствующее точке кривой. По формуле конечных приращений [I, 63] можем написать

где — некоторое значение с из промежутка . Таким образом упомянутую сумму можно переписать в виде

Эта сумма очень схожа с суммой

которая в пределе, при стремлении наибольшей из разностей к нулю, стремится к определенному интегралу

Докажем теперь, что разность суммы стремится к нулю. Отсюда будет непосредственно следовать, что сумма (6) имеет предел, равный интегралу (7). Упомянутая разность имеет вид

Значения принадлежат промежутку , и в силу равномерной непрерывности непрерывной функции для любого малого положительного существует такое , что

если только . Таким образом абсолютное значение будет иметь оценку

Но непрерывная в промежутке функция будет и ограниченной в этом промежутке, то есть , где К — определенное число [I, 35]. Отсюда имеем:

Так как если , то мы видим, что действительно стремится к нулю, и сумма (6) имеет предел (7). Рассматривая очно так же остальные суммы (3), покажем, что при сделанных предположениях интеграл (2) может быть представлен в виде обычного определенного интеграла:

где надо выразить через согласно формулам (5).

Некоторые из свойств простого интеграла, указанные в [I, 94], непосредственно обобщаются на случай криволинейного интеграла. Так, например:

I. Если кривая состоит из отдельных частей то

II Величина криволинейного интеграла определяется не только подынтегральным выражением и кривой интегрирования, но и указанием направления на кривой причем при изменении направления кривой интегрирования интеграл лишь меняет знак.

Если кривая целиком не удовлетворяет указанным выше условиям, но ее можно разбить на конечное число частей, каждая из которых имеет параметрическое уравнение (5), то формула (7) применима к каждой части, а интеграл по всей кривой можно представить как сумму интегралов по отдельным частям. Нетрудно показать, что это равносильно пределу суммы (3) для всей кривой. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые , которые удовлетворяют указанному выше условию. Заметим, наконец, что если есть длина дуги то формула (8) переходит в формулу (4).

Если кривая есть плоская кривая, находящаяся на плоскости интеграл (2) имеет вид

где Р и Q — функции от определенные вдоль .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление