Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

76. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве.

Так же как и на плоскости, условие независимости криволинейного интеграла от пути в пространстве совпадает с условием, интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Рассмотрим иитеграл

Пользуясь формулой Стокса (22), можно доказать так же, как и в предыдущем, что необходимые и достаточные условия незави симости интеграла (38) от пути выражаются тремя тождествами:

Если эти условия выполнены, то можно построить функцию точки

причем совершенно так же, как и раньше, можно показать, что

Кроме того, условия (39) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции и, если эти условия выполнены, то определяется по формуле

где С — произвольная постоянная.

Рис. 66.

Понятие многосвязной области в пространстве представляет некоторые особенности. В качестве примера рассмотрим область образованную внутренностью сферы, из которой выделены две трубки (I) и (II), концами упирающиеся в поверхность сферы, как это указано на рис. 66. Если возьмем замкнутый контур обходящий вокруг трубки (1), то на него нельзя натянуть поверхность, которая бы заключалась в области (D), и, следовательно, если даже в области (D) условия (39) и выполнены, то все же нельзя к (4) применять формулу Стокса, и величина интеграла (38) по (А) будет, вообще говоря, отлична от нуля. Но эта величина не будет зависеть от вида . Важно лишь, что есть замкнутый контур в (D), обходящий вокруг одной трубки (I). Таким образом получится циклическая постоянная

для трубки (I). Совершенно так же будем иметь вторую циклическую постоянную для второй трубки (II). Функция определяемая по формуле (40), в этом случае есть многозначная функция и содержит неопределенное слагаемое , где — любые целые числа.

Заметим, что если область (D) есть часть пространства между двумя концентрическими сферами, и в этой области выполнены условия (39), то никаких циклических постоянных не будет, и функция (40) будет однозначной. Действительно, геометрически ясно, что на всякий замкнутый контур, находящийся в (О), можно в данном случае натянуть поверхность, также находящуюся в (D), а потому ко всякому замкнутому контуру в (О) применима формула Стокса (22), и из условия (39) вытекает равенство нулю интеграла по такому контуру.

Пример. Рассмотрим угол , входящий в систему цилиндрических и сферических координат

и определим Р и О по формулам (37), Эти выражения принимают неопределенную форму вдоль всей оси OZ. При рассмотрении криволинейного интеграла в пространстве

придется исключить трубку, идущую вдоль оси OZ, или просто саму ось, и величина написанного интеграла по любому замкнутому контуру вокруг такой трубки даст циклическую постоянную

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление