Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

77. Установившееся течение жидкости.

Пусть в плоском установившемся течении несжимаемой жидкости вектор скорости, а его проекции на координатные оси. В примере 3 [70] мы видели, что условие отсутствия источников сводится к тому, что интеграл

по любому замкнутому контуру есть нуль или, что то же, что этот интеграл не зависит от пути. В силу (27) для этого необходимо и достаточно

что и является характерным для несжимаемой жидкости. При выполнении условия (45) выражение

оказывается полным дифференциалом некоторой функции , которая определяется соотношением

Функция называется функцией тока и имеет простое физическое значение: разность дает количество жидкости, протекающей за единицу времени через произвольный контур, начало и конец которого находятся в точках А и В. Это вытекает непосредственно из формулы для количества протекающей жидкости.

Если в отдельных точках области находятся источники, то, исключая эти точки, получим область с дырами, в которых условие (45) выполнено. Циклическая постоянная для некоторой дыры, равная интегралу (44) по замкнутому контуру вокруг этой дыры, даст, очевидно, количество жидкости q, даваемой соответственным источником в единицу времени. Функция типа (М) будет при этом многозначной. Если , то источник будет отрицательной силы (сток).

Рассмотрим, кроме интеграла (44), еще интеграл

величина которого называется обычно циркуляцией скорости вдоль контура . Предположим, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е. интеграл (47) не зависит от пути. Это выражают иначе, говоря, что течение незавихренное. Сделанное предположение равносильно существованию функции

такой, что проекции u и v вектора скорости v суть частные производные

Функция называется потенциалом скорости. Если условие независимости интеграла (48) от пути выполнено в многосвязной области (области с дырами), то потенциал скорости будет, вообще говоря, многозначной функцией, и циклическая постоянная интеграла (48) относительно какой-нибудь дыры будет давать напряженность вихря, соответствующего этой дыре.

Из равенства (46) вытекает

Сравнивая эти равенства с (49), получаем два уравнения, связывающих Потенциал скорости и функцию тока :

Эти уравнения, которые обычно называются уравнениями Коша — Рамена, имеют основное значение в теории функций комплексной переменной, и их гидродинамическое значение, установленное выше, служит основанием тех обширных приложений, которые теория функций комплексной переменной имеет в плоской задаче гидродинамики.

В случае установившегося движения в пространстве вектор скорости У» имеет три составляющие: , а вместо интеграла (48) надо рассматривать интеграл

и если выполнены условия независимости его от пути

то существует потенциал скорости

причем

Обобщение условия несжимаемости (45) на случай пространства мы приведем в следующей главе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление