90. Примеры.

1. Рассмотрим интеграл

где плоскость. Вводя полярные координаты и интегрируя по кругу с центром в начале и радиусом R, получим

Если то при беспредельном возрастании R правая часть беспредельно возрастает, и интеграл расходится. Если то правая часть имеет конечный предел т. е. интеграл сходится и равен . В последнем

случае сходимость можно доказать, пользуясь достаточным условием, указанным в предыдущем номере. При интеграл расходится.

2. Рассмотрим интеграл

где есть квадрат, ограниченный прямыми; Вдоль стороны подынтегральная функция обращается в бесконечность. Выключаем эту сторону узенькой вертикальной полоской, т. е. интегрируем по прямоугольнику ограниченному прямыми:

И при будем предел, равный единице, т. е. наш интеграл сходится и равен единице.

Рис. 74.

3. Притяжение, оказываемое массой на точку, расположенную она или внутри нее (рис. 74). Пусть масса притягиваемой точки есть единица. Разобьем притягивающее тело на элементы массы и в каждом из них возьмем точку Обозначив через расстояние СМ, мы получаем для величины притяжения точки С элементом приближенное выражение (сосредоточив всю массу в точке М)

причем постоянную тяготения мы считаем равной единице. Так как указанная сила притяжения имеет направление отрезка СМ, то проекции этого элементарного притяжения на координатные оси будут:

Проекции же полного притяжения будут иметь приближенные выражения

Обозначив через плотность массы в точке М, мы приближенно имеем

и окончательно, увеличивая число элементов и уменьшая беспредельно каждый из них:

Обращаем внимание на то, что в написанных интегралах переменными интегрирования являются координаты переменной точки М

области (v), и плотность является функцией этих переменных. Координаты точки С входят под знак интеграла как непосредственно в числители, так и через посредство

и являются параметрами, так что величины и Z суть функции .

Если точка С находится вне притягивающей массы, величина никогда не обращается в нуль, и мы будем иметь дело с обыкновенными интегралами. Если же точка С попадает внутрь массы, то подынтегральные функции в выражениях (66) обращаются в бесконечность при совпадении переменной точки интегрировании , и мы имеем дело с несобственными интегралами. Они, однако, наверно имеют смысл, если мы будем считать, что есть непрерывная функция, ибо, назвав через верхнюю границу значений функции мы получим

число предыдущего правила в данном случае равно

Тем более будет иметь смысл и интеграл

выражающий потенциал рассматриваемой массы в точке С (С этим понятием мы познакомимся подробнее ниже.)

4. Мы имеем очевидные формулы

а потому интегралы (66) можно переписать в виде:

т. е. эти интегралы получаются путем дифференцирования интеграла (68) по под знаком интеграла. Дифференцирование производится по координатам точки , в которой подынтегральная функция терпит разрыв, и рассматриваемый случай не подходит иод тот случай, для которого были установлены выше [87] теоремы, касающиеся непрерывности и возможности дифференцирования под знаком интеграла. Дальше мы увидим, что при условии непрерывности интегралы суть непрерывные функции во всем пространстве, - непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и эти производные могут быть получены дифференцированием интеграла (68) под знаком интеграла, т. е.

Дифференцируя потенциал U второй раз по под знаком интеграла

и помня, что не зависит от , получим

Эти формулы справедливы только в том случае, если точка находится вне притягивающих масс, т. е. вне . При этом все интегралы — собственные. Если же С внутри , то двукратное дифференцирование даст, как нетрудно проверить непосредственным дифференцированием:

и к интегралам (69) не будет уже применим признак сходимости из (90], т. е. если С внутри , то вторые производные от потенциала U нельзя определять, два раза дифференцируя под знаком интеграла.

Рис. 75.

Складывая равенства (70), будем иметь

и, следовательно, складывая равенства (69), справедливые, если С вне получим уравнение

Итак, потенциал объемных масс удовлетворяет уравнению (71) в точках , находящихся вне этих масс. В дальнейшем мы выясним, как надо изменить это уравнение, если точка С находится внутри масс.

5. Рассмотрим случай однородного шара радиуса а постоянно). Направим ось OZ но прямой ОС, где — центр шара (рис. 75), и введем сферические координаты :

Но очевидно

Мы выполним сперва интегрирование по :

Введем вместо 0 переменную , причем и считаются постоянными. Здесь придется различать два случая: если , то при постоянных и при изменении 0 от 0 до величина меняется от до . Если же , то меняется от до (рис. 76). Сверх того, в силу (73) при постоянных :

Итак, оказывается

Подставляя это в (72), мы должны различить два случая:

1) Точка С находится вне сферы или на ее поверхности; тогда и в промежутке (0, а) все значения в этом случае мы имеем

где m есть полная масса шара.

2) Точка С находится внутри сферы (рис. 76); здесь промежуток (0, а) нужно разбить на два: , и мы получим

при z = a, т. е. когда точка находится на поверхности шара, обе формулы (74) и (75) дают одинаковую величину для U, что доказывает непрерывность функции U. Переходим к вычислению притяжения. В силу симметрии, оно должно быть направлено по оси так что нужно вычислить только

Рис. 76.

Когда точка С находится вне шара, мы пользуемся формулой (74):

когда же точка С находится внутри шара, применяем формулу (75):

При обе формулы (57) и (58) совпадают, что доказывает непрерывность притяжения Z.

Формулы (74), (76), (77) показывают, что потенциал и притяжение однородного шара в точке вне шара можно получить, сосредоточив всю

массу шара в его центре. Притяжение же в точке внутри шара пропорционально расстоянию притягиваемой точки от центра шара.

Для простоты вычислений мы выбрали оси координат специальным образом, направив ось в точку С, так что в предыдущих формулах z есть расстояние точки С до центра сферы. При любом расположении координатных осей с началом в центре сферы надо заменить z на где как всегда, координаты точки С. Формулы (74) и (75) дадут

Первое из выражений для U очевидно удовлетворяет уравнению (71). Дифференцируй второе выражение дна раза по х, у и z, получим

Как мы увидим в дальнейшем, это уравнение оказывается справедливым Я для любого объема с переменной плотностью, если С находится внутри

6. Положим, что притягивающие массы распределены по поверхности (S) с поверхностной плотностью которая является функцией переменной точки М поверхности (S). Обозначая, как и выше, через притягиваемую точку с массой единица и через расстояние получим для потенциала 0 выражение

и для проекций притяжения

Потенциал (79) называется обычно потенциалом простого слоя. Выше мы рассматривали тот случай, когда С находится не на (S) (внутри или вне ), так что все интегралы собственные. При этом потенциал (79) удовлетворяет, как и в примере 4, уравнению (71).