случае сходимость можно доказать, пользуясь достаточным условием, указанным в предыдущем номере. При
интеграл расходится.
2. Рассмотрим интеграл
где
есть квадрат, ограниченный прямыми;
Вдоль стороны
подынтегральная функция обращается в бесконечность. Выключаем эту сторону узенькой вертикальной полоской, т. е. интегрируем по прямоугольнику
ограниченному прямыми:
И при
будем
предел, равный единице, т. е. наш интеграл сходится и равен единице.
Рис. 74.
3. Притяжение, оказываемое массой на точку, расположенную она или внутри нее (рис. 74). Пусть масса притягиваемой точки
есть единица. Разобьем притягивающее тело
на элементы массы
и в каждом из них возьмем точку
Обозначив через
расстояние СМ, мы получаем для величины притяжения точки С элементом
приближенное выражение (сосредоточив всю массу
в точке М)
причем постоянную тяготения мы считаем равной единице. Так как указанная сила притяжения имеет направление отрезка СМ, то проекции этого элементарного притяжения на координатные оси будут:
Проекции же полного притяжения будут иметь приближенные выражения
Обозначив через
плотность массы в точке М, мы приближенно имеем
и окончательно, увеличивая число элементов и уменьшая беспредельно каждый из них:
Обращаем внимание на то, что в написанных интегралах переменными интегрирования являются координаты
переменной точки М
области (v), и плотность
является функцией этих переменных. Координаты
точки С входят под знак интеграла как непосредственно в числители, так и через посредство
и являются параметрами, так что величины
и Z суть функции
.
Если точка С находится вне притягивающей массы, величина
никогда не обращается в нуль, и мы будем иметь дело с обыкновенными интегралами. Если же точка С попадает внутрь массы, то подынтегральные функции в выражениях (66) обращаются в бесконечность при совпадении переменной точки интегрировании
, и мы имеем дело с несобственными интегралами. Они, однако, наверно имеют смысл, если мы будем считать, что
есть непрерывная функция, ибо, назвав через
верхнюю границу значений функции
мы получим
число
предыдущего правила в данном случае равно
Тем более будет иметь смысл и интеграл
выражающий потенциал рассматриваемой массы в точке С (С этим понятием мы познакомимся подробнее ниже.)
4. Мы имеем очевидные формулы
а потому интегралы (66) можно переписать в виде:
т. е. эти интегралы получаются путем дифференцирования интеграла (68) по
под знаком интеграла. Дифференцирование производится по координатам точки
, в которой подынтегральная функция терпит разрыв, и рассматриваемый случай не подходит иод тот случай, для которого были установлены выше [87] теоремы, касающиеся непрерывности и возможности дифференцирования под знаком интеграла. Дальше мы увидим, что при условии непрерывности
интегралы
суть непрерывные функции
во всем пространстве,
- непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка, и эти производные могут быть получены дифференцированием интеграла (68) под знаком интеграла, т. е.
Дифференцируя потенциал U второй раз по
под знаком интеграла
и помня, что
не зависит от
, получим
Эти формулы справедливы только в том случае, если точка
находится вне притягивающих масс, т. е. вне
. При этом все интегралы — собственные. Если же С внутри
, то двукратное дифференцирование
даст, как нетрудно проверить непосредственным дифференцированием:
и к интегралам (69) не будет уже применим признак сходимости из (90], т. е. если С внутри
, то вторые производные от потенциала U нельзя определять, два раза дифференцируя под знаком интеграла.
Рис. 75.
Складывая равенства (70), будем иметь
и, следовательно, складывая равенства (69), справедливые, если С вне
получим уравнение
Итак, потенциал объемных масс
удовлетворяет уравнению (71) в точках
, находящихся вне этих масс. В дальнейшем мы выясним, как надо изменить это уравнение, если точка С находится внутри масс.
5. Рассмотрим случай однородного шара радиуса а
постоянно). Направим ось OZ но прямой ОС, где
— центр шара (рис. 75), и введем сферические координаты
:
Но очевидно
Мы выполним сперва интегрирование по
:
Введем вместо 0 переменную
, причем
и считаются постоянными. Здесь придется различать два случая: если
, то при постоянных
и при изменении 0 от 0 до
величина
меняется от
до
. Если же
, то
меняется от
до
(рис. 76). Сверх того, в силу (73) при постоянных
:
Итак, оказывается
Подставляя это в (72), мы должны различить два случая:
1) Точка С находится вне сферы или на ее поверхности; тогда и в промежутке (0, а) все значения
в этом случае мы имеем
где m есть полная масса шара.
2) Точка С находится внутри сферы (рис. 76); здесь промежуток (0, а) нужно разбить на два:
, и мы получим
при z = a, т. е. когда точка находится на поверхности шара, обе формулы (74) и (75) дают одинаковую величину для U, что доказывает непрерывность функции U. Переходим к вычислению притяжения. В силу симметрии, оно должно быть направлено по оси
так что нужно вычислить только
Рис. 76.
Когда точка С находится вне шара, мы пользуемся формулой (74):
когда же точка С находится внутри шара, применяем формулу (75):
При
обе формулы (57) и (58) совпадают, что доказывает непрерывность притяжения Z.
Формулы (74), (76), (77) показывают, что потенциал и притяжение однородного шара в точке вне шара можно получить, сосредоточив всю
массу шара в его центре. Притяжение же в точке внутри шара пропорционально расстоянию притягиваемой точки от центра шара.
Для простоты вычислений мы выбрали оси координат специальным образом, направив ось
в точку С, так что в предыдущих формулах z есть расстояние точки С до центра сферы. При любом расположении координатных осей с началом в центре сферы надо заменить z на
где
как всегда, координаты точки С. Формулы (74) и (75) дадут
Первое из выражений для U очевидно удовлетворяет уравнению (71). Дифференцируй второе выражение дна раза по х, у и z, получим
Как мы увидим в дальнейшем, это уравнение оказывается справедливым Я для любого объема
с переменной плотностью, если С находится внутри
6. Положим, что притягивающие массы распределены по поверхности (S) с поверхностной плотностью
которая является функцией переменной точки М поверхности (S). Обозначая, как и выше, через
притягиваемую точку с массой единица и через
расстояние
получим для потенциала 0 выражение
и для проекций притяжения
Потенциал (79) называется обычно потенциалом простого слоя. Выше мы рассматривали тот случай, когда С находится не на (S) (внутри или вне
), так что все интегралы собственные. При этом потенциал (79) удовлетворяет, как и в примере 4, уравнению (71).