Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

96. Независимость от выбора осей.

Определение внутренней и внешней меры, а также понятие квадрируемости тесно связано с выбором осей, поскольку мы производим измерение площадей с помощью сетки квадратов со сторонами, параллельными осям. Хорошо известны формулы для новых координат точки при параллельном переносе координатных осей и их повороте. Параллельный перенос оставляет направление осей прежними и ничто не меняется при определении площади. Иное будет при повороте осей. Граница любого квадрата есть простая линия, и следовательно, любой квадрат квадрируем. Конечная сумма квадратов любой сетки также квадрируема [95]. При параллельном переносе площадь квадрата, очевидно, не меняется. Покажем, что площадь любого квадрата равна квадрату длины его стороны. Достаточно, очевидно, доказать следующую теорему:

Теорема 1. Если повернуть квадрат со сторонами, параллельными осям, вокруг начала, то площадь его остается прежней.

Пусть исходный квадрат со стороной квадрат, полученный после поворота. Такими же буквами будем обозначать их площади и положим При помощи параллельного переноса, не меняющего площади, мы можем совместить с любым параллельным квадратом со стороною и, следовательно, для всех квадратов со стороной отношение при данном повороте плоскости будет одно и то же. Совершим теперь над плоскостью преобразование подобия с центром в начале, при котором длины всех радиусов-векторов,

вводящих из начала, умножаются на некоторое положительное число k. Такое преобразование сводится к переходу точки в точку с координатами При этом преобразовании все линейные размеры умножаются на k. Всякий квадрат со сторонами, параллельными осям, переходит в такой же квадрат, но длины его сторон умножаются на k. Отсюда следует, что площади (внутренние и внешние) при этом умножаются на к. Обозначим через квадраты, которые получаются из при помощи указанного преобразования подобия. Очевидно, что получается из при помощи того же вращения, при помощи которого получается из Но и, следовательно, Но, подбирая соответственным образом число к, мы можем перевести квадрат q В квадрат с любой длиной стороны. Таким образом, мы видим, что отношение при данном повороте плоскости имеет одну и ту же величину для всех исходных квадратов q. Покажем теперь, что Рассмотрим круг с центром в начале и радиусом единица, покрытый сеткой квадратов со сторонами, параллельными осям. Этот круг есть, очевидно, квадрируемая область.

При повороте вокруг начала площадь квадрата получит множитель и в силу определения площади и доказанной выше теоремы, площадь круга также должна умножаться на s. Но при упомянутом повороте круг перейдет сам в себя, и его площадь не должна измениться, т. е. что и требовалось доказать.

Положим, что имеются две различные по направлению сетки равных квадратов. В первой имеем множества типа (а), а аналогичные множества второй сетки назовем множествами типа Такие области Квадрируемы при любом выборе сетки квадратов и их мера равна сумме площадей составляющих их квадратов (площадь квадрата — квадрат длины его стороны).

Покажем, что при переходе от одной сетки к другой не нарушается свойство квадрируемости и не меняется мера квадрируемого множества. Пусть Е—ограниченное множество точек плоскости, и йусть оно квадрируемо в первой сетке. Отсюда следует, что при любом заданном с 0 его границу можно [96) заключить строго внутрь некоторого множества (L) типа (а), мера которого Расстояние между и границей L положительно, и при достаточном измельчании второй сетки можно заключить I строго внутрь множества типа , содержащегося внутри (L). Поскольку произвольно, можно утверждать, что имеет меру нуль и при использовании второй сетки, т. е. Е квадрируемо и во второй сетке. Аналогично доказывается, что если Е квадрируемо во второй сетке, то оно квадрируемо и в первой сетке. Для доказательства совпадения меры Е в указанных сетках достаточно доказать совпадение внутренних мер.

Пусть а — внутренняя мера Е в первой сетке и во второй. любом заданном существует в первой сетке такое множество типа (а), состоящее из внутренних точек что — . Расстояние между (S) и положительно, и при достаточном измельчании второй сетки существует множество типа , состоящее из внутренних точек и содержащее . При этом , откуда, ввиду произвольности , следует, что . Аналогично доказывается, что Если Е не имеет внутренних точек, то Мы доказали следующую теорему.

Теорема 2. При использовании различно направленных сеток равных квадратов свойство квадрируемости и величина меры не меняются.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление