Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Скалярное произведение.

Условимся относительно одного обозначения. Если а — некоторое комплексное число, то символом и будем обозначать число, сопряженное с а, и символом модуль числа а, так что Если а вещественно, то . Введем теперь новое понятие, которое в дальнейшем будет играть большую роль.

Определение. Скалярным произведением двух векторов

называется число, равное следующей сумме:

Мы будем обозначать скалярное произведение символом . Имеем:

откуда следует

Назовем два вектора взаимно перпендикулярными или взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Поскольку число, сопряженное с нулем, есть также нуль, в условии ортогональности порядок векторов в скалярном произведении роли не играет. Нетрудно видеть, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору

Из определения скалярного произведения непосредственно вытекают следующие его свойства:

где а — численный множитель. Кроме того:

и этот распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Из него следует, между прочим:

Составим скалярное произведение вектора на этот же вектор:

Мы получаем таким образом вещественное число, которое будет положительным для вектора отличного от нулевого вектора , и равным нулю для нулевого вектора. Корень квадратный (арифметическое значение) из вещественного числа называется нормой или длиной вектора X. Обозначая эту норму символом можем написать:

Равенство равносильно тому, что есть нулевой вектор. Положим, что имеются три взаимно перпендикулярных вектора , т. е.

Применяя распределительный закон для скалярного произведения и принимая во внимание написанные равенства, получим:

или

Эта формула выражает теорему Пифагора. Она справедлива для любого числа слагаемых. Существенно лишь, что эти слагаемые векторы попарно ортогональны. Покажем, что если векторы попарно ортогональны и среди них нет нулевого вектора, то они линейно независимы. Действительно, положим

и покажем, что все числа должны равняться нулю. Умножим обе части этого равенства скалярно на , где k — одно из чисел 1,2

В силу того, что векторы попарно ортогональны, при , так что последняя формула дает: откуда, в силу следует и это при любом выборе k.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление