Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

38. Малые колебания.

Мы видели выше что движение механической системы, имеющей степеней свободы, связи которой не содержат времени и которая находится под воздействием сил, имеющих потенциал, определяется системой дифференциальных уравнений вида:

где Т — кинетическая энергия системы и U — заданная функция (силовая функция) от которую мы считаем не зависящей от t. Как мы упоминали выше, Т есть квадратичная форма от производных от по времени

причем коэффициенты суть заданные функции от Положим, что значения обращают в нуль частные производные

При этом система дифференциальных уравнений (164) имеет очевидное решение которому соответствует некоторое положение равновесия системы. Функция U определена лишь с точностью до постоянного слагаемого, и мы можем всегда считать, что она обращается в нуль при . В силу условия (166) можно, таким образом, утверждать, что разложение функции U по степеням начинается лишь с членов второго измерения. Положим, что квадратичная форма, получаемая от этих членов второго измерения, будет определенно отрицательной, откуда следует, что U имеет максим ум при или — что то же — потенциальная энергия имеет минимум. Как мы доказали [II, 20] при этом положение равновесия будет устойчивым, и при малых начальных возмущениях система будет совершать малые колебания около упомянутого положения равновесия, так что во все время движения будут оставаться малыми. Мы можем поэтому при исследовании этих малых колебаний считать, что U сводится лишь к членам второго измерения, т. е. имеет вид:

Точно так же мы можем в коэффициентах выражения (165) положить приближенно после чего эти коэффициенты окажутся заданными числами. Подставляя все это в систему (164), будем иметь систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

Если мы будем искать решение этой системы в форме гармонических колебаний одной и той же частоты и начальной фазы, но с разными амплитудами

то» подставляя в систему (168), будем иметь систему уравнений для и :

Для того чтобы эта система имела для решение, отличное от нулевого, мы должны приравнять ее определитель нулю:

Взяв некоторый корень этого уравнения и подставив в коэффициенты системы (170), мы получим для решения — одно или несколько, которые мы затем можем умножить на произвольную постоянную. Кроме того, формула (169) содержит еще произвольную постоянную

Мы получаем более отчетливое решение задачи, применяя теорию квадратичных форм. Заметим прежде всего, что по самому существу дела квадратичная форма (165) переменных выражающая кинетическую энергию при движении, будет определенно положительной формой. Кроме того, в данном случае по условию задачи и форма (167) будет определенно положительной. Как мы видели, можно ввести вместо переменных такие новые переменные связанные с прежним линейным преобразованием с постоянными коэффициентами, чтобы в новых переменных квадратичные формы Т и одновременно привелись к сумме квадратов, причем для формы Т это должно быть чистой суммой квадратов с коэффициентами, равными единице. Заметим при этом, что линейная зависимость для приводит к такой же зависимости для Мы будем, таким образом, иметь:

где все коэффициенты при положительны, так что мы имели возможность обозначить их через квадраты. Вместо системы (168) мы можем написать уравнения Лагранжа (164) для новых переменных

Подставляя (172), будем иметь чрезвычайно простую систему

Решения этой системы будут:

где произвольные постоянные.

Обобщенные координаты называются главными координатами нашей механической системы.

Основные координаты выражаются через них линейным образом с постоянными коэффициентами. Из результатов предыдущего номера непосредственно следует, что числа должны быть корнями уравнения (170). Заметим, что среди них могут оказаться и одинаковые, но и в этом случае формулы (169) дают общее решение задачи малых колебаний в рассматриваемом случае.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление