Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

49. Функциональное пространство L2.

Мы рассмотрели пространство в котором вектор определился бесчисленным множеством составляющих, которые мы нумеровали целыми числами: первая составляющая вторая и т. д.

Переходим теперь к рассмотрению семейства комплексных функций определенных на измеримом множестве и таких, что вещественные функции измеримы на и принадлежат откуда следует, что есть измеримая на функция и принадлежит

Если вещественные и мнимые части двух функций соответственно эквивалентны, то функции называются эквивалентными, и они, как элементы функционального пространства отождествляются, т. е. элементом этого пространства является все множество эквивалентных функций и любая функция этого множества может быть представителем этого множества. Нулевой элемент есть функция, эквивалентная нулю на например, функция, тождественно равная нулю на . В дальнейшем вместо мы будем писать просю

Свойства функционального пространства 12 аналогичны свойствам Элементы можно умножать на комплексные числа и складывать Скалярное произведение двух элементов определяется формулой

и квадрат нормы элемента формулой

Определение ортогональности — то же, что и для и без изменения повторяются результаты [45]. Сходимость последовательности элементов к элементу определяется формулой

и повторяются без изменения определения и результаты [46] и [47], причем надо иметь в виду [II, 161—163]. Отметим, что если — коэффициенты Фурье элементов относительно полной ортонормированной системы , т. е.

то имеет место, как и в [47], обобщенное уравнение замкнутости

Из сказанного вы следует, что сходимость ряда в

есть сходимость в среднем

где сумма первых членов ряда.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление