Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

84. Группа вращения.

Рассмотрим в качестве примера группу вращения пространства вокруг начала координат. Соответствующие матрицы третьего порядка зависят от трех параметров. Роль этих параметров могут играть, например, три угла Эйлера. Мы введем сейчас другие параметры в которых и будем производить дальше все вычисления. Всякое вращение мы можем рассматривать как вращение против часовой стрелки вокруг некоторой направленной оси выходящей из начала координат, на угол, не превышающий те. При этом два вращения на угол к относительно противоположно направленных осей приводят к одному и тому же конечному положению. Мы можем таким образом изобразить всякое вращение вектором из начала, направленным по оси вращения и по длине равным углу вращения. Проекции этого вектора на координатные оси и будут служить нам параметрами.

Если мы возьмем сферу V с центром в начале и радиусом и отождествим концы любого из ее диаметров, то между точками сферы V и элементами группы вращения будет установлено биоднозначное соответствие. В данном случае оно будет иметь место не только в окрестности начала координат и единичного элемента группы, но и для всей группы, если взять всю сферу V. Можно выразить все матрицы, входящие в группу вращения, через параметры и убедиться в непрерывности и существовании производных, о чем мы говорили выше.

Мы не будем выводить формулу (193) для основной групповой операции в рассматриваемом случае, а определим структурные постоянные, вычисляя непосредственно матрицы бесконечно малых преобразований.

Для вычисления мы можем считать продифференцировать матрицу преобразования по и положить затем Но при мы имеем вращение вокруг оси X на угол что приводит к формулам:

Дифференцируя матрицу этого преобразования по и полагая затем получим:

Совершенно аналогично

После этого мы можем непосредственно вычислить левые части соотношений (208) и тем самым определить структурные постоянные. Это элементарное вычисление приводит к трем следующим соотношениям:

Если правую часть формулы (202) разложим по степеням ограничиваясь членами первого порядка, то получим с этой точностью:

Таким образом вектор и в результате указанного преобразования испытывает следующее изменение:

Каждое слагаемое справа дает изменение и при малом вращении вокруг одной из осей координат. Так, например, мы получаем следующие изменения составляющих вектора и при повороте на малый угол вокруг оси X:

При этом, как и выше, мы ограничиваемся лишь членами первого порядка относительно .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление