Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

85. Бесконечно малые преобразования и представления группы вращения.

Сейчас выясним связь сказанного выше о бесконечно малых преобразованиях с представлением группы вращения. Мы будем подразумевать биоднозначное представление в окрестности тождественного преобразования матрицами порядка , причем элементы матрицы считаются непрерывными и дифференцируемыми функциями параметров Каждое вращение D может быть получено в виде произведения конечного числа вращений из упомянутой окрестности, и произведение соответствующих матриц представления дает представления и для D. Но таким образом в целом может получиться и многозначное представление группы вращения, поскольку при непрерывном изменении параметров вращения можно, возвращаясь к исходному вращению, получить для него новое представление. Это, например, было раньше при двузначном представлении полной группы вращения [69].

Для матриц мы имеем ту же групповую операцию, что и для самих вращений, а следовательно, и те же структурные постоянные.

Для группы матриц можно составить бесконечно малые преобразования Это будут некоторые матрицы порядка , связанные соотношениями (211). Если удастся найти матрицы то можно написать для вектора из дифференциальные уравнения (204), ибо определяются лишь групповой операцией. Эти уравнения могут иметь при заданном начальном условии (206) только одно решение; только это решение, очевидно, и может быть тем преобразованием

которое дает представление группы вращения в окрестности тождественного преобразования.

В рассматриваемом случае и если в уравнении (204) перейти к составляющим вектора то получатся уравнений для составляющих вектора

В дальнейшем для нас будет важно лишь то, что уравнение (204) не может иметь более одного решения при заданном начальном условии (206). Как уже говорилось выше, это можно формулировать так: представление группы вращения вполне определяется своими бесконечно малыми преобразованиями

Таким образом все сводится к определению бесконечно малых преобразований представления, к чему мы и переходим. Вместо искомых матриц вводим новые матрицы:

Легко проверить, что для них, вместо (211), получаются следующие соотношения:

В представлении матрицами должно заключаться, в частности, и представление абелевой группы вращения вокруг оси Z, элементам которой соответствуют матрицы При помощи соответствующего выбора ортов все эти матрицы одновременно преобразуются к диагональной форме, ибо неприводимые представления абелевой группы суть представления первого порядка. Для векторов, которые при этом играют роль ортов, преобразование будет иметь вид [69]:

или, полагая да и обозначая v через

Поскольку мы поставили условие однозначности представления только в окрестности мы не должны считать цлым числом. Отсюда получаем, основываясь на определении

Итак,

т. е. есть собственный вектор оператора соответствующий собственному значению т. Если таких собственных векторов несколько, то через обозначаем один из них.

Докажем теперь следующую лемму:

Лемма. Если некоторый вектор v есть собственный вектор оператора соответствующий собственному значению а, то вектор если он отличен от нулевого, есть также собственный вектор соответствующий собственному значению и аналогично есть собственный вектор соответствующий собственному значению

По условию леммы мы получаем в силу (213):

и совершенно аналогично

Число различных собственных значений не больше п. Среди этих значений имеется одно или несколько с наибольшей вещественной частью. Обозначим это собственное значение или одно из них, если их несколько, через у, и пусть соответствующий собственный вектор (один из них, если их несколько). В силу леммы вектор должен был бы относиться к собственному значению но, согласно определению такого собственного значения у нет и, следовательно, мы должны иметь:

В силу доказанной выше леммы векторы:

если они отличны от нуля, относятся к собственным значениям оператора Последовательность векторов (216) должна, конечно, привести к нулевому вектору, поскольку число различных собственных значений у не больше . Докажем теперь формулу

где некоторые целые числа. В силу (215) она верна при причем а за можно взять, например, нулевой вектор. Положим теперь, что формула (217) верна при некотором из указанных и докажем ее для значения на единицу меньшего.

Имеем в силу (213), (216) и (217):

Отметим, что при мы не пользуемся при этом формулой

ибо при Таким образом формула (217) доказана, и числа определяются из соотношений:

Проводя последовательные вычисления, получаем:

т. е.

Пользуясь этим равенством, определим значок 5 первого из векторов (216), равного нулю, т. и вектор отличен от нулевого. Из (217) при этом следует т. е.

Это квадратное относительно S уравнение имеет корни Значение не годится, ибо вектор отличен от нулевого и не входит в последовательность (216). Таким образом в последовательности (216) векторы

отличны от нулевого, и . Число этих векторов равно откуда видно, что j есть или целое неотрицательное число, или половина нечетного положительного числа. Если то мы можем принять векторы (219) за основные орты в пространстве если же то они образуют в некоторое подпространство . Положим, что мы имеем последнее. Каждый вектор из последовательности (219) удовлетворяет уравнению:

Далее мы причем и формулу (218). Тем самым операторы переводят подпространство в себя, и данные формулы вполне определяют указанные операторы в подпространстве Больше того, из формул (216) и (218) непосредственно следует, что никакое подпространство лежащее в и для которого не остается инвариантным при применении операторов

Определив мы можем для подпространства построить уравнения (204), которым должен удовлетворять вектор

искомого представления в подпространстве Это представление не может оставлять инвариантным никакое подпространство входящее в т. е. представление неприводимо в ибо если бы это было так, то и всякое в силу их определения, должно было бы оставлять инвариантным что, как мы только что видели, не имеет места. Если то приведенное рассуждение относится ко всему При мы отделили от общего представления в неприводимое в указанном смысле представление порядка т. е. оно не оставляет инвариантным никакое подпространство при . Из наших рассуждений непосредственно вытекает, что существует только одно с точностью до подобных представлений неприводимое представление данного порядка. Но в [69] мы построили унитарные неприводимые представления любого порядка.

Тем самым они исчерпывают всевозможные неприводимые представления, и указанные выше представления, основанные на построенных в операторах АЗУ должны быть им подобны.

Векторы (219) можно умножать на произвольные численные множители, отличные от нуля. При этом в соотношениях (216) и (218) также появятся численные множители. Указанные множители можно подобрать так, чтобы иметь окончательно следующие соотношения:

причем .

При таком выборе множителей получатся те представления, которые мы построили в [69], исходя от величины

Указанное выше построение дает возможность из любого представления выделять его неприводимые части. Все сводится к отысканию собственных векторов оператора с наибольшим собственным значением и построению (216).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление