89. Интегрирование на группе.
В [76, 77] мы доказывали ряд соотношений, которые содержат суммы некоторых величин, зависящих от элементов группы, причем суммирование распространялось на все элементы группы. В случае непрерывной группы суммирование заменяется интегрированием по параметрам, определяющим элементы группы. Положим, что непрерывная группа G такова, что при некотором выборе параметров, этой группе в вещественном
-мерном пространстве
определяемой параметрами
соответствует ограниченная замкнутая область V (область вместе с ее границей), так что всякому элементу из G соответствует определенная точка V и наоборот. Внутри области V функции
определяющие групповую операцию, считаются непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми. Кроме того, эти функции и их производные считаются непрерывными вплоть до границы V. Зависимость параметров
соответствующих элементу
от параметров
также считается непрерывной. Группы с такими свойствами называются обычно компактными. Для определения интегрирования на группе рассмотрим определитель матрицы
и введем для него следующее обозначение:
Из (243) непосредственно следует:
Обозначая
, можем написать:
Отсюда, принимая во внимание, что
, получаем:
Введем еще одно «обозначение:
В силу сделанных выше предположений и
есть непрерывная функция в замкнутой области V. Она не обращается в нуль, ибо
есть также непрерывная функция. Принимая во внимание, что и
можем утверждать, что и
положительные функции. То же можно утверждать, в силу (248), и относительно
.
Пусть
любая непрерывная в замкнутой области
функция.
Определим интеграл от этой функции на группе G формулой:
где интеграл, стоящий справа, есть обычный интеграл по области V. Докажем, что такой интеграл обладает следующим свойством левой инвариантности:
или в координатах
где
любой фиксированный элемент группы G. Для доказательства заменим в интеграле, стоящем в левой части, переменный элемент
переменным элементом
полагая
причем область изменения параметров
по-прежнему V. Определитель преобразования будет
и мы получим:
Это и совпадает с (253). Замена в правой части
на
несущественна.
Аналогично строится правоинвариантный интеграл. Введем определитель матрицы
:
Как и выше, имеем:
где
. Вводится положительная функция
и интеграл определяется формулой:
Волна сверху знака дифференциала отличает этот интеграл от интеграла (251). При этом имеет место свойство правой инвариантности:
Докажем теперь, что замена
на
под знаком подынтегральной функции влечет преобразование левоинвариантного интеграла в правоинвариантный и обратно. Дифференцируем равенство
записанное в параметрах, по
причем во всех дальнейших формулах мы считаем
и, принимая во внимание (246) и (245), получаем:
Можно дать другое представление этого определителя. Из равенства
следует
или, меняя местами
Обращаемся теперь к интегралам. Совершая обычным образом замену переменных интегрирования, получим, пользуясь (260):
Сокращая на и
и заменяя переменный элемент переменным элементом
получим:
Совершенно так же, принимая во внимание формулу (261), получим:
До сих пор мы не использовали компактности группы. Область V может быть и бесконечной. Но при этом надо предполагать функцию
такой, что все написанные интегралы имеют смысл. Сейчас, пользуясь компактностью, мы докажем, что и
. Для этого рассмотрим определитель
где
докажем формулу
Мы можем написать:
где
, а потому
откуда и следует (265). Положив в этой формуле
получим
Если мы введем численную функцию элемента:
то, в силу (266), можем написать:
т. е. перемножение элементов означает умножение соответствующих значений функции
Мы имеем, очевидно:
и функция
непрерывна и положительна в замкнутой области V.
Используя компактность группы, докажем сейчас, что
для любого элемента
. Положим, что для некоторого элемента
мы имеем
. Если, например,
то в силу
и мы можем считать всегда, что
При этом
Это противоречит тому, что непрерывная в замкнутой области V функция
должна быть ограниченной. Переходим теперь к установлению связи между и
Пусть
Мы имеем:
Но, с другой стороны:
т. е.
Полагая
, получим:
т. е.
при любом
ибо
. Таким образом для компактных групп левоинвариантный интеграл (251) совпадает с правоинвариантным интегралом (257). Кроме того, из (262) или (263) следует, что этот интеграл совпадает также с интегралом
Для некомпактных групп левоинвариантный интеграл может быть отличным от правоинвариантного. В качестве примера рассмотрим группу линейных преобразований вида:
где
меняются от
до
. В данном случае
и V есть вся плоскость. Композиция двух преобразований дает:
т. е.
Единичному элементу соответствуют параметры
Элемент
имеет параметры
. Вычисляем функциональные определители:
Левоинвариантный интеграл имеет вид:
и правоинвариантный интеграл:
Отметим, что при доказательстве равенства правоинвариантного и левоинвариантного интегралов, т. е. равенства и
можно требование компактности группы заменить другим требованием.
Пусть
- подгруппа, состоящая из элементов G, которые имеют вид:
или получаются из таких элементов путем их перемножения, причем
и — любые элементы
Нетрудно видеть, что если некоторый элемент
содержится среди элементов (270), то и обратный элемент
содержится среди элементов (270).
Точно так же и элемент
, при любом выборе из
, содержится среди элементов (270). Иначе говорят, что подгруппа
порождается элементами (270). Из сказанного выше следует, что G является нормальным делителем G. Подгруппа G приводится к единичному элементу в том и только в том случае, если все элементы (270) суть единичные элементы, т. е. в том и только в том случае, когда G есть абелева группа. Подгруппа G может и совпадать с G. В частности, это будет иметь место, если G есть не абелева, простая группа. Подгруппа G называется обычно коммутантом группы G.
Из определения (268) и (269) следует, что
что
для всех
из
и что
имеет одинаковое значение для всех элементов, принадлежащих одной и той же совокупности по группе
т. е. что функция
имеет определенное значение для всякого элемента дополнительной к G группы. Если G совпадает с
, то
при любом
из G. То же имеет место, если упомянутая выше дополнительная группа компактна. Но раз