Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Бесконечные ряды с комплексными членами.

Выяснив основные вопросы, связанные с понятием об интеграле, перейдем к рассмотрению бесконечных рядов. Пусть имеется бесконечный ряд с комплексными членами

Он называется сходящимся, если сумма его первых слагаемых

стремится к конечному пределу при беспредельном возрастании . Из этого определения непосредственно следует, что ряд (47) будет Сходящимся тогда и только тогда, когда будут сходиться ряды с вещественными членами

составленные из вещественных и мнимых частей членов ряда (47).

Если обозначить через А и В суммы рядов (49), то конечная сумма (48) будет, очевидно, стремиться к пределу который и будет представлять собою сумму ряда (47).

Выясним теперь понятие об абсолютной сходимости ряда (47). Заменяя в ряде (47) каждый член его модулем, получим ряд с положительными членами

Покажем, что если этот ряд сходится, то и основной ряд (47) также сходится. Действительно, из очевидного неравенства

непосредственно следует [I, 120 и 124], что из сходимости ряда (50) вытекает сходимость (даже абсолютная) рядов (49) и, следовательно, сходимость ряда (47).

Если ряд (50) сходится, то сходящийся ряд (47) называется абсолютно сходящимся. Такие абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами, аналогичными свойствам абсолютно сходящихся рядов с вещественными членами.

Если ряд (47) сходится абсолютно, то, как мы только что видели, ряды (49) сходятся абсолютно, и их сумма не зависит от. порядка слагаемых [I, 137]. Следовательно, то же самое можно сказать и о сумме ряда (47).

Совершенно так же, пользуясь рассуждениями, аналогичными рассуждениям из [I, 138], можно доказать и теорему об умножении абсолютно сходящихся рядов, а именно: если имеются два абсолютно сходящихся ряда с комплексными членами:

то

абсолютно сходится и его сумма равна ST. На подробном доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся. Поскольку для комплексного переменного справедлив признак Коши существования предела, то этот признак, как и для вещественного переменного [I, 126], дает необходимое и достаточное условие сходимости ряда с комплексными членами, а именно: для сходимости ряда (47) необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном существовало такое положительное что

если только — любое целое положительное число.

Перейдем теперь к рассмотрению рядов с переменными членами, т. е. рядов, члены которых содержат переменное z:

Если такой ряд сходится при всех значениях принадлежащих некоторой области В (или некоторой кривой ), то говорят, что ряд (51) сходится в области В (или на кривой ).

Введем теперь понятие о равномерной сходимости совершенно так же, как мы это делали для случая вещественного переменного [I, 143]. Ряд (51) называется равномерно сходящимся в области В (на кривой ), если при любом заданном положительном существует положительное одно и то же для всех z, находящихся в В (на ), такое, что

если только — любое целое положительное число. Равномерно сходящиеся ряды в случае комплексного переменного обладают теми же свойствами, что и равномерно сходящиеся ряды вещественного переменного [I, 146]. Мы приведем два основных свойства, которые доказываются совершенно так же, как и в случае вещественного переменного.

Если члены ряда (51) суть непрерывные функции z в некоторой области В (на кривой ), и ряд сходится равномерно в этой области (на этой кривой), то и сумма ряда будет непрерывной функцией.

Если ряд (51), состоящий из непрерывных функций, сходится равномерно на некоторой кривой то его можно интегрировать вдоль этой кривой почленно.

Укажем, наконец, достаточное условие абсолютной и равномерной сходимости ряда (51), совершенно аналогичное тому, которое мы имели и в случае вещественного переменного [I, 147]. Если для всех z из области В (на кривой ) члены ряда (51) удовлетворяют неравенствам

где положительные числа, образующие сходящийся ряд, то ряд (51) сходится в области В (на кривой I) абсолютно и равномерно.

Отметим еще одно обстоятельство, непосредственно вытекающее из предыдущего, а именно, если ряд (51) сходится равномерно на некоторой кривой и если мы умножим все его члены на некоторую функцию v (z), которая на этой кривой остается ограниченной по модулю, например непрерывна, то и новый ряд будет равномерно сходящимся. Действительно, в результате такого умножения мы вместо ряда (51) будем иметь ряд

где

Из неравенства (52) непосредственно вытекает для нового ряда

откуда и следует равномерная сходимость этого ряда, так как М — определенное положительное число и в — сколь угодно малое при больших .

Выяснив простейшие понятия, относящиеся к рядам с комплексными членами, мы переходим теперь к доказательству основной теоремы, касающейся рядов, члены которых суть регулярные функции от z.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление