Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

133. Полиномы Лежандра.

Мы изучим сейчас более подробно полиномы Лежандра. Заметим прежде всего, что если воспользоваться определением (11) и применить формулу Лейбница для производной порядка от произведения то получим

Принимая во внимание, что

получим непосредственно из предыдущей формулы

Мы переходим сейчас к особому методу — методу производящей функции — для изучения дальнейших свойств полиномов Лежандра. В дальнейшем мы будем пользоваться этим методом и при изучении других специальных функций.

Поместим в северном полюсе N единичной сферы положительный заряд и пусть М — переменная точка, имеющая сферические координаты Кулоново поле упомянутого заряда будет иметь в точке М следующий потенциал:

где d есть расстояние от заряда до переменной точки М.

Функция (27) будет регулярной функцией переменной в точке и мы можем разложить ее по целым положительным степеням :

причем коэффициенты разложения будут полиномами от в. Мы могли бы точно подсчитать эти коэффициенты, применяя к функции

формулу бинома Ньютона и собирая затем члены, содержащие одинаковые степени . Мы будем поступать несколько иначе.

Функцию (27) мы можем выразить через декартовы координаты

Мы получим ряд (28), если применим к функции (29) формулу Ньютона и затем в полученном бесконечном ряде соберем члены одинакового измерения относительно т. е. члены ряда (28) суть однородные полиномы относительно х, у и z. Как известно, сама функция является решением уравнения Лапласа [II, 119], и, следовательно, то же самое можно утверждать и относительно отдельных слагаемых ряда (28), т. е. члены этого ряда должны быть объемными сферическими функциями. Но они не зависят от угла и, следовательно, каждый член этого ряда должен представляться в виде произведения , где есть некоторая постоянная, которую нам и надо определить. Имеем, таким образом,

Полагая получим в силу

откуда непосредственно следует, что при любом значке , и, таким образом, мы получаем следующее окончательное разложение нашего элементарного потенциала по степеням :

Заменяя на и на z, можем написать

Эта формула может служить определением полиномов Лежандра, а именно: можно сказать, что полином Лежандра является коэффициентом при в разложении функции

по целым положительным степеням z. Иначе говорят, что функция (32) является производящей функцией полиномов Лежандра.

Определим радиус сходимости степенного ряда (31). Особыми точками функции (32) будут те значения z, при которых подрадикальное выражение обращается в нуль. Решая соответствующее квадратное уравнение, получаем следующие его корни:

Поскольку мы будем считать, что является вещественным и находится в промежутке При этом корни (33) будут мнимыми сопряженными, и квадрат модуля каждого из них будет равен

Прид; корни (33) совпадают и равны оба ±1. Таким образом, при условии особые точки функции (32) будут отстоять от начала координат на расстоянии единица, и, следовательно, ряд (31) будет сходящимся при . В частности, разложение (30) будет справедливо при , т. е. для всех точек, находящихся внутри единичной сферы. Для точек вне единичной сферы мы получим уже другое разложение. Действительно, функцию (27) можно переписать при следующим образом:

При этом так что можно применить уже предыдущее разложение, и мы получим окончательно следующее представление потенциала (27) вне единичной сферы:

Каждое из слагаемых этой суммы не имеет вне сферы никаких особенностей и обращается в нуль на бесконечности.

До сих пор мы рассматривали сферу единичного радиуса. Для сферы любого радиуса R будем иметь, вынося R или из-под знака радикала:

Из формулы (31) легко вывести основные свойства полиномов Лежандра. Дифференцируя эту формулу по и умножая затем на получим

или

Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, будем иметь соотношение между последовательными полиномами Лежандра:

Точно так же дифференцируя формулу (31) по и умножая затем на будем иметь

или, подставляя из (37),

Исключая из (38) и (39) получим

Эта формула остается справедливой и при если положить . Полагая в формуле (40) значок равным и складывая, получаем новое соотношение

Напишем формулу (40), заменяя на

Суммируя по k от до , где при — четном и при — нечетном, получаем формулу

Из определения (11) непосредственно вытекает, что содержит только четные степени если n — четное число, и только нечетные степени если n — нечетное число. Точно так же из этой же формулы непосредственно вытекает

Применяя формулу бинома Ньютона, можем написать

где при и члены ряда надо считать равными единице. Перемножая ряды и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим следующее выражение для полиномов Лежандра:

где все коэффициенты положительны и определяются формулами

Отсюда, между прочим, непосредственно следует

Формулы (37) дают возможность последовательно определять полиномы Лежандра. Выпишем первые пять полиномов:

Если есть некоторая функция, определенная в промежутке (-1, 1), то возникает вопрос о представлении ее в виде ряда, расположенного по полиномам Лежандра:

Пользуясь ортогональностью и формулой (19), мы, как и в теории тригонометрических рядов, убеждаемся, что коэффициенты должны определяться по формулам

Можно показать, что при таком выборе коэффициентов ряд (48) сходится в промежутке и его сумма равна если только эта последняя функция удовлетворяет некоторым, весьма общим условиям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление