Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

154. Функции Бесселя и уравнение Лапласа.

Уравнение Бесселя встречается весьма часто при решении задач математической физики. Мы не можем за недостатком места рассматривать сколько-нибудь полно применение функций Бесселя и ограничимся лишь основными фактами, устанавливающими связь уравнения Бесселя с основными уравнениями математической физики.

Начнем с уравнения Лапласа. Мы исследовали раньше уравнение Лапласа в сферических координатах и пришли, таким образом, к сферическим функциям. Точно так же, написав уравнение Лапласа в цилиндрических координатах и применяя метод разделения переменных, мы придем к функциям Бесселя.

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций: одной — только от , второй — от о и третьей — от

Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим

Каждая из двух последних написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимая переменная входит только в первую из этих дробей, только во вторую. Приравнивая вторую из дробей постоянной и третью — постоянной получим следующие три уравнения:

или

Будем пока считать постоянные и k отличными от нуля. Первые два уравнения дают нам

Наконец, третье уравнение дает , где есть любое решение уравнения Бесселя с параметром . Если хотим иметь решение однозначное, то постоянную мы должны считать целым числом .

Получим, таким образом, решения уравнения Лапласа следующего вида:

где — любое целое число и постоянная k может иметь любое значение.

Если то мы должны вместо считать или и уравнение для даст нам Наконец, при надо считать и при надо считать При формула (129) дает нам решения следующего вида:

не зависящие от угла . Такие решения играют существенную роль при рассмотрении потенциала масс, имеющих осевую симметрию. Если мы хотим получить решение, конечное при то в формуле (110) должны положить постоянную равной нулю, и будем иметь решения вида

Из решений уравнения Лапласа такого типа может быть получено решение являющееся основным в теории ньютоновского потенциала, а именно имеет место формула

имеющая многочисленное применение в теории потенциала. Чтобы доказать эту формулу, обратимся к формуле (42), которая даст нам

откуда, интегрируя по получим

или, подставляя пределы,

Последний интеграл легко вычисляется методом, указанным в [57), откуда и вытекает непосредственно формула (112).

Если вместо постоянной ввести постоянную то перейдет в могут быть заменены на

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление