Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

160. Параболические координаты и функции Эрмита.

Отметим один частный случай замены переменных в волновом уравнении

Введем вместо х и у новые переменные и положим, что преобразование переменных совершается при помощи формулы

где регулярная функция комплексного переменного С По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

и, далее,

Пользуясь уравнениями Коши — Римана

а также тем, что удовлетворяют уравнению Лапласа, нетрудно проверить следующую формулу:

или

Рассмотрим частный случай

ИЛИ

Координатные линии будут на плоскости изображаться параболами [34], а потому новые координаты называются параболическими. Совершая преобразование в волновом уравнении указанным выше способом, будем иметь

и, следовательно, уравнение (25) в новых переменных будет в данном случае выглядеть следующим образом:

Будем искать его решение в виде произведения двух множителей, из которых один зависит от , а другой — от

Подставляя в уравнение (26) и разделяя переменные обычным образом, получим

Обе части полученного тождества должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через Таким образом, мы придем к следующим двум уравнениям:

Напомним дифференциальное уравнение (11), которому удовлетворяли функции Эрмита

где для функции Эрмита имеем следующую формулу:

Рассмотрим первое из уравнений (27) и введем вместо новую переменную по формуле

Отсюда

и, подставляя в (27), придем к уравнению

Если мы определим постоянную равенством

где — некоторое целое положительное число или нуль, то преобразуем уравнение (30) к виду (28). Таким образом, в новой переменной за функцию X мы можем взять функцию Эрмита

или, возвращаясь к старой переменной, получим

где произвольная постоянная.

Точно же, рассматривая второе из уравнений (27) и вводя вместо новую переменную

мы приведем и второе уравнение к виду (28) при том же самом значении параметра Возвращаясь к старой переменной, будем иметь

Таким образом, мы получаем бесчисленное множество решений волнового уравнения (25) следующего вида:

Эти решения образуют полную систему функций и являются аналогом функций Бесселя для случая цилиндрических координат. Здесь так же, как и там, можно построить аналог и функциям Ханкеля, что дает возможность, например, решать задачи дифракции относительно параболического цилиндра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление