Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16. Примеры.

Применяя разложение в ряд Тейлора к элементарным трансцендентным функциям, мы получим для них известные из дифференциального исчисления разложения в степенные ряды, причем теперь эти ряды будут уже годиться и для комплексных значений независимого переменного.

Пример I. Для функции мы имеем, очевидно, и, следовательно, Формула (63) дает нам при b = 0 (ряд Маклорена)

Наша функция регулярна на всей плоскости, и, следовательно, разложение (73) верно на всей плоскости.

Точно так же получаем справедливые на всей плоскости разложения для тригонометрических функций:

Пример II. Формула геометрической прогрессии

Дает пример ряда с кругом сходимости

Заменим в этом ряде на и проинтегрируем от 0 до

Мы получили новый степенной ряд с тем же кругом сходимости При вещественных значениях z его сумма равна, как известно

Покажем, что то же самое будет и при всех комплексных z из круга т. е., точнее говоря, покажем, что сумма нашего ряда

удовлетворяет уравнению

Возьмем регулярную в круге функцию и составим ее разложение в ряд Маклорена. Для этого определим производные от этой функции. Принимая во внимание, что имеем» очевидно,

и, далее,

т. е. при всяком . Кроме того, из формул (77) и (79) непосредственно вытекает, что Разложение в ряд Маклорена действительно дает нам

Мы видим, таким образом, что сумма ряда (76) есть одно из возможных значений . Эта последняя функция является функцией многозначной, но степенной ряд (76) выделяет из этой многозначной функции однозначную ветвь, регулярную в круге

Значения логарифма, определяемые этой формулой, называют иногда главными значениями логарифма. На окружности нашего круга сходимости лежит особая точка функции Характер этой особой точки будет выяснен нами впоследствии.

Пример III. Рассмотрим функцию При целом положительном ее разложение по целым положительным степеням z представляет собой обычную формулу бинома Ньютона. При целых отрицательных наша функция имеет в точке полюс, и, последовательно вычисляя производные и составляя ряд Маклорена, будем иметь разложение в круге

Если не есть целое чйсло, то наша функция будет многозначной. Например, при будем иметь

Вообще для любого значения постоянной мы можем написать нашу функцию в виде [I, 176]

и ее многозначность является следствием многозначности . Возьмем для то значение, которое определяется формулой (80). При этом и функция (82) будет однозначной и регулярной в круге Последовательно вычисляя производные функции (82), будем иметь в силу (77)

и вообще

где определяется рядом (80). Заметим теперь, что ряд (80) дает то значение , которое обращается в нуль при . Таким образом, формула (82) и следующие дают

и

Отсюда видно, что ряд Маклорена для нашей функции (82) совпадает с рядом (81), т. е. формула (81) дает нам регулярное однозначное значение функции (82) внутри круга при любом показателе . Будем в дальнейшем называть формулу (81) биномом Ньютона.

Пример IV. Заменяя в формуле для прогрессии z на получаем разложение, справедливое в круге

Интегрируя его от нуля до z, получаем новое разложение, справедливое в том же круге:

В дальнейшем мы увидим, что сумма написанного ряда дает одно из возможных значений , и, таким образом, формула (83) определяет в круге ту ветвь многозначной функции, которая в этом круге является однозначной и регулярной функцией.

Аналогично получается и разложение одной из ветвей многозначной функции в том же круге:

Пример V. Рассмотрим функцию

Она имеет особыми точками полюсы , а в остальном однозначна и регулярна на всей плоскости. Отметим три круговых кольца, имеющих центр в начале:

В каждом из них наша функция разлагается в ряд Лорана, расположенный по целым степеням . Например, в кольце мы имеем, разлагая на простейшие дроби:

откуда, в силу имеем внутри кольца

и окончательно в кольце имеем

В кольце аналогичным образом, принимая во внимание, что будем иметь разложение, содержащее только отрицательные степени

или

Наша функция регулярна также, например, в кольце с центром в внутренним радиусом и внешним радиусом Нетрудно представить ее внутри этого кольца в виде ряда Лорана по целым степеням Пример VI. Рассмотрим частное двух степенных рядов

Пусть радиусы сходимости обоих этих рядов не меньше положительного числа . Положим, кроме того, что свободный член ряда, стоящего в знаменателе, отличен от нуля. При этом функция, стоящая в знаменателе, будет отличной от нуля не только в начале, но и в некотором круге с центром в начале координат. Положим, что она будет регулярной и отличной от нуля в некотором круге Мы можем утверждать, что и вся дробь (85) будет регулярной в круге с центром в начале и радиусом, равным наименьшему из двух чисел может быть, даже в большем круге). Мы будем иметь в этом круге разложение функции в степенной ряд

вычисления коэффициентов с помножим частное на делитель, представив произведение в виде степенного ряда

Полученное произведение должно совпадать с делимым, и, в силу единственности разложения в степенной ряд, мы можем просто приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях . Это даст ряд равенств для определения искомых коэффициентов частного:

Из этих формул мы сможем последовательно вычислять коэффициенты Можно рассматривать первые уравнений (86) как систему уравнений с неизвестными Решая их по формуле Крамера, можно написать явное выражение для коэффициента в виде частного двух определителей:

Определитель, стоящий в знаменателе, равен, очевидно,

Применяя это рассуждение к разложению

будем иметь представление в виде степенного ряда в круге так как, как мы увидим дальше, функция имеет только вещественные корни, которые хорошо известны из тригонометрии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление