Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

174. Разложение целой периодической функции.

Целая функция не имеет вовсе периодов. Дальше мы покажем, что, присоединяя к ней некоторый множитель показательного типа, мы можем получить целую функцию, обладающую периодом. Сейчас мы рассмотрим общий случай целой функции с периодом и выведем разложение для такой функции. Это разложение может быть написано или в виде степенного ряда или в виде ряда Фурье [ср. 119].

Рис. 82.

Положим, что целая функция имеет период , т. е. при любом комплексном и

Проведем через начало вектор и две прямые, перпендикулярные к этому вектору и проходящие через его начало и его конец (рис. 82). Эти две прямые образуют полосу периода функции

Прямая CD получается из прямой АВ при помощи преобразования Совершим над плоскостью и преобразование

На плоскости наша полоса перейдет в полосу, ограниченную прямыми . Если мы затем совершим преобразование

то на новой плоскости С наша полоса изобразится всей плоскостью с исключенной точкой и с разрезом вдоль положительной части вещественной оси Два берега разреза соответствуют прямым, образующим первоначальную полосу на плоскости и, причем соответствующим точкам на этих двух берегах отвечают значения и, связанные соотношением . В силу (72) наша функция имеет одинаковые значения на обоих берегах разреза, а следовательно, одинаковыми будут и значения производных всех порядков, т. е., короче

говоря, наша функция будет регулярной и однозначной не только на разрезанной плоскости С, но просто на всей плоскости С с исключенной точкой . Мы можем поэтому утверждать, что она должна разлагаться на этой плоскости в ряд Лорана

Приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема. Всякая целая функция с периодом (о может быть представлена на всей плоскости переменной и рядом вида

Написанный ряд сходится, очевидно, равномерно во всякой ограниченной части плоскости. Если мы воспользуемся формулами Эйлера и сгруппируем члены, соответствующие значениям , одинаковым по величине и противоположным по знаку, то получим представление функции в виде тригонометрического ряда

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление