Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

179. Выражение чисел ... через ...

При изучении функции Вейерштрасса мы ввели числа которые при наших новых обозначениях определяются следующим образом:

причем мы имели для функции основное соотношение

Числа как мы видели, удовлетворяют условию

и различны. Эти числа играют основное значение в теории функции Их можно принять за основу при построении функции вместо чисел При этом функция будет определяться как обращение эллиптического интеграла первого рода

Выразим теперь числа через значение функций тэта при аргументе, равном нулю. Возьмем формулу (106)

и положим в этой формуле , т. е. затем , т. е. Мы получим, таким образом, в силу (112)

Пользуясь таблицей (109), дающей формулы приведения для функций тэта, будем иметь

Мы докажем дальше следующее важное тождество

применение которого дает возможность переписать предыдущие формулы в очень простой форме:

Займемся теперь доказательством тождества (116). Мы имеем согласно (106)

откуда, разлагая функции в ряд Маклорена и принимая во внимание нечетность и четность остальных функций, получим

или, выделяя в знаменателе множитель v и производя деление ряда на ряд,

или

Как известно, разложение в окрестности не содержит свободного члена, и, следовательно, возводя квадратную скобку правой части в квадрат и собирая в правой части свободные члены, мы должны получить что дает нам

Отсюда, принимая во внимание (114), имеем следующее соотношение

Во всех написанных формулах штрихи у b показывают дифференцирование по переменной v, так что, например, есть при . Уравнение (111) при дает нам

и точно так же, полагая в уравнении дифференцируя по и полагая затем получим

Пользуясь последними двумя соотношениями, мы можем переписать формулу (119) в виде

Интегрируя это по , будем иметь

где С — постоянная, не зависящая уже от , т. е. от . Для того чтобы определить эту постоянную, подставим в обе части предыдущего тождества разложения (105), выписывая лишь первые члены разложения,

Сравнивая коэффициенты при младших членах, содержащих мы получим что и приводит нас к тождеству (116).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление