Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

180. Эллиптические функции Якоби.

Вместо эллиптической функции Вейерштрасса пользуются часто другими эллиптическими функциями, которые исторически появились раньше функций Вейерштрасса еще у Якоби. Пусть, как всегда, — любое число из верхней полуплоскости, два числа, отношение которых равно . Пользуясь этими элементами построения, мы можем построить функции тэта. Определим три новые функции, которые

являются отношением двух целых функций, т. е. будут дробными функциями:

Согласно известным формулам

эти новые функции связаны с функцией Вейерштрасса следующими тремя соотношениями:

Исключая из этих соотношений функцию получим два соотношения, связывающих новые функции:

Формулы (117) предыдущего номера дают нам при этом

До сих пор комплексные числа оставались совершенно произвольными. Существенным было лишь то обстоятельство, чтобы отношение находилось в верхней полуплоскости. В теории функций Вейерштрасса эти числа не подчинены никаким дальнейшим ограничениям. В теории функций Якоби число со при заданном определяется из того условия, чтобы разность была равна единице. Второе из соотношений (123) дает нам при этом число :

которое вполне определяется этой формулой при заданном , а затем определяется формулой . Подставляя выражение (124) в соотношения (123), получаем

причем правые части зависят только от . Соотношения (122) можно переписать при этом следующим образом:

где для краткости положено

Функции Якоби строятся по одному числу , а потому иногда пользуются следующими обозначениями:

Число определяемое формулой (127), называется модулем функций Якоби. Введем еще так называемый дополнительный модуль, определяемый формулой

Складывая первое и третье из соотношений (125), получим

Формулы (127) и (128) определяют и в виде полных квадратов некоторых однозначных функций от , и мы можем написать, беря определенные значения радикалов:

Вернемся к формулам (120). Мы можем выразить множители, стоящие направо и не зависящие от v, через k и Действительно, согласно (130), имеем

откуда в силу (124) и (116)

и, следовательно, формулы (120) можно переписать в следующем виде:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление