Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

182. Дифференциальные уравнения для функций Якоби.

Из формул (113) и (121) непосредственно следует

Чтобы определить знак правой части, помножим обе части написанного равенства на и положим затем Принимая во внимание, что произведение при дает а также пользуясь формулами (132), находим, что в правой части предыдущей формулы мы должны брать знак (—). Этот знак, очевидно, остается неизменным и при аналитическом продолжении функции, т. е. мы имеем

С другой стороны, дифференцируя соотношение

получим

и сравнение этих двух выражений для дает нам

Дифференцируя затем равенства (126) и пользуясь (135), получим формулы производных для двух других функций Якоби:

Отсюда, возводя в квадрат и пользуясь (126), мы получим окончательно следующие дифференциальные уравнения для функций Якоби:

Остановимся несколько ближе на дифференциальном уравнении для функции Полагая можем написать

причем при надо считать и радикал, стоящий справа, равным единице, так как в силу (132). Разделяя переменные и интегрируя, получаем

Отсюда видно, что функция получается в результате обращения эллиптического интеграла первого рода в форме Лежандра. Можно показать и наоборот, что, задавая произвольное комплексное значение для числа отличное только от 0 и 1, получим в результате обращения интеграла (138) функцию Якоби Таким образом, элементом построения для функции Якоби вместо может служить число k. Мы подробно исследовали интеграл (138) с точки зрения конформного преобразования для того частного случая, когда число вещественно и заключается между нулем и единицей. В этом случае имеем один вещественный период, который мы в [168] обозначили через и другой чисто мнимый период Сравнивая с теперешними обозначениями, получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление