Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

188. Простой маятник.

В качестве наиболее простого примера применения функций Якоби рассмотрим простой маятник. Положим, что тяжелая материальная точка массы единица движется по гладкой окружности. Возьмем координатные оси X и Z в плоскости этой окружности, причем ось Z направим вертикально вверх; и пусть l — радиус окружности. Положим, что наша точка при пущена из самой нижней точки с некоторой начальной скоростью Приращение кинетической энергии будет равно работе силы тяжести, и мы получим, таким образом, формулу

или

Предположим, что прямая пересекает нашу окружность в некоторых точках А и т. е. что пли Из формулы (173) вытекает, что и, следовательно, движение будет совершаться на дуге (рис. 84) нашей окружности. Мы имеем и введем угол

такой, чтобы Величина скорости будет выражаться формулой

и, следовательно, уравнение (173) может быть переписано в виде

или, вводя половинные углы,

откуда

Мы считаем при этом, что 0 возрастает при возрастании t. Введем вместо 0 новую переменную по формуле

Дифференцируя это соотношение, получим без труда

и, следовательно, подставляя в (174) и принимая во внимание, при мы имеем

откуда

и, пользуясь известными свойствами функций Якоби, получим

причем, извлекая корень, мы принимаем во внимание, что при мы имеем . Последние формулы дают возможность выразить координаты х и z в виде однозначных функций

Рассмотрим теперь тот случай, когда постоянная а, входящая в формулу (173), больше Мы можем переписать эту формулу следующим образом:

или

где

причем, очевидно, . Интегрируя соотношение (177), получим

Вводя вместо 0 новую переменную будем иметь

и точно так же

Эти формулы дают возможность и в этом случае выразить координаты в виде однозначных функций времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление