Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

32. Линейное преобразование.

В качестве первого примера конформного преобразования рассмотрим наиболее простую линейную функцию

откуда

Эта функция переводит всю плоскость, включая бесконечно далекую точку, в себя, причем бесконечно далекая точка также переходит в себя, т. е. остается на месте. В частном случае при мы имеем функцию которая дает параллельный перенос плоскости на вектор, соответствующий комплексному числу b. В другом частном случае некоторое вещественное число) дело сводится к прибавлению к аргументу числа и это преобразование есть, очевидно, поворот плоскости вокруг начала на угол Общий случай движения плоскости как целого получится соединением поворота и параллельного переноса:

Если , т. е. если мы имеем дело не с чистым параллельным переносом, то из формулы (10) нетрудно определить координату неподвижной точки преобразования, т. е. той точки, которая останется на своем месте в результате преобразования. Координата этой точки определится из уравнения

Нетрудно проверить, что преобразование (10) может быть написано в виде

т. е. общий случай движения плоскости (10) мы можем рассматривать как поворот плоскости вокруг точки на угол . Заметим, что преобразование (10) будет иметь еще вторую неподвижную точку на бесконечности.

Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда модуль коэффициента а в линейном преобразовании (9) будет отличен от единицы. Вводя модуль и аргумент числа а, рассмотрим преобразование в случае

Здесь дело сводится к умножению длины радиуса вектора из начала в точку z на и к повороту плоскости вокруг начала на угол Такое преобразование называют преобразованием подобия с центром подобия в накале и с коэффициентом подобия .

Рассмотрим теперь линейное преобразование (9) в общем случае при Вводя неподвижную точку преобразования

мы можем переписать формулу (9), как это нетрудно проверить, в виде

и имеем здесь, очевидно, преобразование подобия, но только с центром не в начале координат, а в точке

Предоставляем читателю показать, что в данном случае изотермическая сетка будет состоять из двух семейств параллельных прямых линий, что очевидно и чисто геометрически.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление