Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

33. Дробно-линейное преобразование.

Дробно-линейным преобразованием называется преобразование, выражающееся в виде частного двух линейных функций

причем надо считать так как в противном случае дробь, стоящая в формуле (И), будет сократимой и будет равна просто постоянному числу. Решая уравнение (11) относительно получим формулу для преобразования, обратного (И), которое также будет дробно-линейным:

Всякой точке плоскости z будет соответствовать определенная точка плоскости w и наоборот, т. е. преобразование (И) преобразует всю плоскость, включая бесконечно далекую точку, саму в себя.

Если в формуле то преобразование просто будет линейным. В противном случае точка перейдет в точку и точка даст точку т. е. в общем случае дробно-линейного преобразования бесконечно далекая точка не будет уже неподвижной точкой.

Докажем одно основное свойство дробно-линейного преобразования, а именно покажем, что оно преобразует окружность в окружность, причем под термином «окружность» мы будем здесь и в дальнейшем понимать не только окружность в собственном смысле слова, но и прямую линию. Для линейного преобразования, которое сводится или к простому движению плоскости как целого, или к преобразованию подобия, это свойство совершенно очевидно, причем в этом случае прямая переходит в прямую или окружность в собственном смысле этого слова. Прежде чем доказывать это свойство для дробно-линейного преобразования, представим его в несколько другом виде. Считая с и деля числитель на знаменатель, мы можем написать формулу (11) в виде

Таким образом, наше преобразование состоит из параллельного переноса преобразования вида и еще параллельного переноса . Достаточно, таким образом, рассмотреть преобразование простейшего вида

и доказать, что оно переводит окружность в окружность. Уравнение окружности имеет вид

где в случае прямой линии. Мы можем записать это уравнение в виде

и черта наверху показывает, что взято комплексное сопряженное число. Положим теперь, что на плоскости z мы имеем некоторую окружность l. Чтобы получить уравнение преобразованной кривой на плоскости нам достаточно определить z из уравнения (13) и подставить полученное выражение в уравнение (14). Мы будем иметь, таким образом, на плоскости w кривую с уравнением

Это уравнение того же типа, что и уравнение (14), т. е. ему также соответствует окружность (или прямая). Итак, всякое преобразование вида (11) преобразует окружность в окружность (прямая есть окружность, проходящая через бесконечно далекую точку).

Положим, что преобразование (11) преобразует некоторую окружность l в окружность причем обе окружности суть окружности в собственном смысле слова. Принимая во внимание сказанное в [22], мы можем утверждать, что если положительному обходу по I соответствует положительный обход по то преобразование (11) переводит внутренность l во внутренность и внешность l во внешность Если же направления обходов по и противоположны, то внут ренность l переходит во внешность и наоборот. Если одна из упомянутых окружностей есть прямая или обе суть прямые, то для определения тех частей плоскости, которые переходят друг в друга, надо брать соответствующий обход по обеим линиям, и при этом те части плоскости, которые находятся с одной стороны от движущегося наблюдателя, например слева, будут переходить друг в друга

Рассмотрим далее две точки и симметричные относительно окружности l. Положим, что после преобразования они перешли в точки Покажем, что эти последние также будут симметричны относительно преобразованной окружности

Действительно, пучок окружностей, проходящих через точки и будет, как мы знаем [24], состоять из окружностей, ортогональных к После преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки и и в силу конформности эти окружности, составляющие пучок, будут ортогональны к окружности а это, как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек. Таким образом, если преобразование (11) переводит окружность I в окружность то тонки, симметричные относительно окружности l, переходят при этом в точки, симметричные относительно окружности Заметим при этом, что центру окружности соответствует по закону симметрии бесконечно далекая точка. В данном случае пучок окружностей, проходящих через эти две точки, сводится к пучку прямых, проходящих через центр окружности, и прямые этого пучка, очевидно, ортогональны самой окружности.

Если , то мы можем написать преобразование (11) в следующем виде:

Числа имеют простое геометрическое значение, а именно точка переходит в начало и точка переходит в бесконечно далекую точку.

Рассмотрим на плоскости w семейство концентрических окружностей, имеющих центр в начале. Уравнение этих окружностей будет и для них вышеупомянутые точки будут симметричными. Отсюда следует, что этим окружностям на плоскости z будут соответствовать также окружности, для которых точки будут симметричными, и уравнение этого семейства окружностей будет, очевидно, иметь вид

где С — произвольная постоянная. Итак, уравнению (16) будет соответствовать семейство окружностей относительно которых точки симметричны (рис. 28). В это семейство будет входить, очевидно, и прямая, перпендикулярная к отрезку в его середине. Рассмотрим теперь на плоскости w семейство прямых, проходящих через начало, или, иначе говоря, пучок окружностей, проходящих через точки Уравнение этого пучка окружностей будет, очевидно, На плоскости z этому пучку окружностей будет соответствовать, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки , и уравнение этого пучка будет (заметим, что аргумент числа k постоянен)

Итак, уравнению (17) соответствует на плоскости z пучок окружностей, проходящих через точки Окружности семейства (17), очевидно, пересекаются с окружностями семейства (16) под прямым углом (рис. 28).

Определим теперь изотермическую сетку на плоскости z. На плоскости w ей соответствуют два семейства прямых, параллельных осям. Каждое из этих семейств мы можем рассматривать как семейство окружностей, взаимно касающихся в бесконечно далекой точке.

Рис. 28.

Такому семейству будет соответствовать на плоскости z некоторое семейство окружностей, взаимно касающихся в точке

Таким образом, искомая изотермическая сетка будет состоять из двух семейств окружностей, причем окружности каждого семейства взаимно касаются в точке и окружности двух разных семейств пересекаются в этой точке под прямым углом (рис. 29).

Точное определение одного из этих семейств, а вместе с ним и другого, связано со значением комплексных коэффициентов преобразования (11).

Преобразование (11) содержит три произвольных комплексных параметра, а именно отношения трех из коэффициентов к четвертому.

Таким образом, мы можем определить преобразование (11), задав соответственное количество дополнительных условий. Мы можем, например, потребовать, чтобы три заданные точки плоскости z перешли в три заданные точки плоскости w. Нетрудно написать то дробно-линейное преобразование, которое будет осуществлять эти условия. Оно будет иметь вид

Действительно, решая это уравнение относительно w, мы получим, очевидно, дробно-линейное преобразование вида (11). Кроме того, подставляя мы будем в формуле (18) и слева и справа иметь нуль.

Рис. 29.

При подстановке другой пары точек мы будем, в обеих частях иметь единицу, и при подстановке третьей пары точек мы будем в обеих частях иметь бесконечность. Отсюда видно, что дробнолинейное преобразование, определяемое по формуле (18), действительно удовлетворяет поставленному условию. Нетрудно показать также, что это условие определяет дробно-линейное преобразование единственным образом. При этом, очевидно, построенное преобразование будет переводить окружность, определяемую тремя точками в окружность, определяемую точками . Если обе тройки точек взяты на одной и той же окружности, то дробно-линейное преобразование будет преобразовывать окружность самое в себя. Если при этом последовательность точек на этой окружности дает то же направление обхода, что и последовательность точек то построенное преобразование будет преобразовывать круг, ограниченный упомянутой окружностью, в самого себя.

В качестве примера рассмотрим верхнюю полуплоскость, границей которой служит вещественная ось (внутренние точки этой полуплоскости определяются из условия, что коэффициент мнимой части у координат точек положителен).

В данном случае преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость в самое себя, должно и вещественную ось преобразовывать в себя, т. е. вещественным z должны соответствовать и вещественные а следовательно, в формуле (11) мы можем все четыре коэффициента считать также вещественными. Но этого мало, надо еще, чтобы при движении z в положительном направлении по вещественной оси (в сторону возрастания) и w двигалось бы в таком же направлении. В противном случае верхняя полуплоскость z будет переходить в нижнюю полуплоскость

Подставляя в формулу получим

или, отделяя вещественную и мнимую части,

Отсюда непосредственно видно, что при коэффициент у мнимой части w будет также положителен, если выполнено условие

Рис. 30.

Итак, общий вид дробно-линейных преобразований, преобразующих верхнюю полуплоскость самое в себя, будет (11), с любыми вещественными коэффициентами, удовлетворяющими условию (19).

Точно так же можно рассматривать преобразование самого в себя единичного круга, т. е. круга с центром в начале координат и радиусом единица, уравнение которого может быть написано в виде . Предварительно выясним некоторые простые свойства точек, симметричных относительно окружности С такого круга.

Пусть две такие точки и М — любая точка на самой окружности С. Мы имеем что может быть записано 6 виде следующей пропорции (рис. 30):

Отсюда видно, что треугольники и , имеющие общий угол и пропорциональные стороны, образующие этот угол, будут подобными треугольниками, и это подобие дает нам следующую пропорцию:

Обозначим через а комплексную координату и пусть . Для симметричной точки будем иметь, очевидно, или иначе комплексную координату этой симметричной точки мы можем выразить дробью Составим дробно-линейное преобразование, которое преобразует единичный круг сам в себя и переводит точку а в начало. Оно должно переводить симметричную точку в бесконечность, т. е. оно должно иметь вид

или, если заменить

где k — постоянный множитель, вид которого мы должны еще определить из условия, что вся правая часть формулы (21) при любом z на окружности С должна иметь также модуль, равный единице, т. е.

Но, очевидно, в силу (20)

откуда . Обращаясь к формуле (22), мы видим, таким образом, что произведение должно иметь модуль, равный единице, т. е. должно иметь вид где может иметь любое вещественное значение. Окончательно для искомого преобразования мы получаем формулу

в которой можем произвольно выбирать точку а внутри единичного круга и вещественный параметр . В частном случае, если , т. е. если начало переходит само в себя, мы имеем простое преобразование , т. е. вращение единичного круга вокруг начала на угол

Общее преобразование (23) можно разбить на две части, а именно на преобразование

переводящее единичный круг самого в себя и преобразующее точку а в начало, и затем — на поворот вокруг начала на угол .

Мы можем также построить бесчисленное множество преобразований, переводящих некоторый круг в другой круг Достаточно для этого построить одно из таких преобразований, переводящих в К и затем к полученному результату применить любое дробно-линейное преобразование, переводящее круг К самого в себя. При этом важно отметить, что результат последовательного применения двух дробно-линейных преобразований есть также дробнолинейное преобразование. Действительно, положим, что мы имеем дробно-линейное преобразование (11) от переменной z к переменной w и затем следующее дробно-линейное преобразование

от переменной w к переменной . Подставляя выражение (11) в последнюю формулу, будем иметь после элементарных преобразований окончательное дробно-линейное преобразование от переменной z к переменной

Оно называется обычно произведением дробно-линейных преобразований (И) и (25), причем, вообще говоря, это произведение будет зависеть от порядка сомножителей, т. е. от того порядка, в котором мы совершали дробно-линейные преобразования (11) и (25).

Вернемся к случаю верхней полуплоскости и единичного круга и построим одно дробно-линейное преобразование, переводящее полуплоскость в единичный круг. Возьмем для этого преобразование вида

Нетрудно видеть, что точка верхней полуплоскости переходит в начало координат, и вещественным значениям z соответствуют значения w, по модулю равные единице. Действительно,

причем числитель и знаменатель написанной дроби равны соответственно расстоянию от точки z до точек l и и если точка z находится на вещественной оси, то эти расстояния одинаковы и, следовательно,

Если затем к переменной w применить любое дробно-линейное преобразование, преобразующее единичный круг самого в себя, то получим общий вид преобразований, переводящих верхнюю полуплоскость в единичный круг.

В заключение докажем принцип симметрии в том общем виде, как мы его формулировали в [24]. Пусть функция регулярна с одной стороны от некоторой дуги АВ окружности С, непрерывна вплоть до этой дуги и преобразует ее в некоторую дугу окружности Q. Совершим над z дробно-линейное преобразование, переводящее С в вещественную ось:

и точно так же совершим над самой функцией дробно-линейное преобразование, переводящее окружность Q в вещественную ось. Таким образом, будем иметь новую функцию от новой независимой переменной

Эта новая функция регулярна с одной стороны отрезка вещественной оси, непрерывна вплоть до самого отрезка и переводит этот отрезок тоже в отрезок вещественной оси. Согласно первоначальной формулировке принципа симметрии, доказанного нами раньше [24], эта функция будет аналитически продолжима за упомянутый отрезок и будет в точках, симметричных относительно вещественной оси, иметь значения, также симметричные относительно вещественной оси. Принимая во внимание, что при упомянутых двух дробно-линейных преобразованиях симметричные точки переходят в симметричные, мы можем утверждать, что первоначальная функция аналитически продолжима за дугу АВ окружности С, и точки, симметричные относительно этой окружности, переводит в точки, симметричные относительно окружности

Дробно-линейное преобразование, как мы увидим дальше, имеет большое принципиальное значение в теории функций комплексного переменного. Часто им пользуются совершенно так же, как преобразованием координат в аналитической геометрии, а именно прежде чем рассматривать какой-нибудь вопрос, подвергают плоскость переменных, входящих в задачу, дробно-линейному преобразованию так, чтобы получить возможно более простую формулировку задачи. Так, например, пользуясь дробно-линейным преобразованием, мы свели принцип симметрии в общем случае к уже разобранному нами частному случаю.

Назовем отображением в некоторой окружности С или прямой преобразование плоскости, при котором всякая точка А переходит в точку симметричную с ней относительно С.

Пусть z — комплексная координата А и w — комплексная координата . Положим, что С есть окружность с центром и радиусом R. Векторы ВА и должны иметь один и тот же аргумент, а произведение их длин должно равняться Нетрудно видеть, что это приводит к следующей формуле, выражающей w через :

т. е. отображение в окружности выражается дробно-линейной функцией от

и, следовательно, является конформным преобразованием второго рода. Рассмотрим теперь отображение в прямой. Положим, что прямая проходит через начало и образует угол с положительным направлением вещественной оси (рис. 31). При этом точка z перейдет, очевидно, в точку w с тем же модулем и с аргументом т. е. в этом случае преобразование может быть написано в виде

и оно будет выражаться просто линейной функцией от z. Как нетрудно видеть, тот же результат получим и при отображении в любой прямой.

Рис. 31.

Если произвести последовательно два отображения в различных окружностях или прямых, то в окончательном результате получится некоторое дробно-линейное преобразование. Рассмотрим более подробно тот случай, когда производятся последовательно два отображения в пересекающихся прямых. Можно всегда считать, что точка пересечения находится в начале координат. Пусть, далее, суть углы, образованные этими прямыми с положительным направлением вещественной оси. Последовательно проводя эти отображения, мы перейдем от точки z к точке и от точки к точке w по формулам

Подставляя выражение в правую часть второй формулы, мы будем иметь окончательное преобразований от z к w в виде

и это будет вращение вокруг начала на угол т. е. два последовательных отображения в пересекающихся прямых дают вращение плоскости вокруг точки пересечения на угол, равный удвоенному углу, образованному этими прямыми. Точно так же нетрудно показать, что два последовательных отображения в параллельных прямых дают параллельный перенос плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление