Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

36. Двуугольник и полоса.

Рассмотрим двуугольник, образованный двумя дугами окружностей Q и Пусть угол этого двуугольника и координаты его вершин.

Совершая дробно-линейное преобразование

мы переводим точки и так что дуги, образующие двуугольник, переходят в полупрямые, идущие из начала на бесконечность, а сам двуугольник в результате преобразования будет представлять собою угол величины с вершиной в начале. Если мы затем совершим преобразование , то величина угла станет равной и угол превратится в полуплоскость. Умножая еще затем на множитель вида мы можем достигнуть того, чтфбы эта полуплоскость была верхней полуплоскостью, ограниченной вещественной осью. Собирая вместе все проделанные преобразования, получим окончательно формулу, дающую преобразование нашего двуугольника в верхнюю полуплоскость:

Рис. 35.

Здесь есть некоторое вещественное число, зависящее от расположения нашего двуугольника.

Совершая еще над w дробно-линейное преобразование, указанное в [33], мы можем преобразовать наш двуугольник в единичный круг.

Выше был рассмотрен двуугольник, заключающийся внутри контура, образованного двумя дугами окружности. На рис. 35 можно рассматривать часть плоскости, находящуюся вне замкнутого контура, так же, как двуугольник, ограниченный дугами окружностей. Но угол этого двуугольника будет уже, конечно, не

Мы предполагали в предыдущем, что угол двуугольника отличен от нуля. Рассмотрим теперь случай угла, равного нулю. Положим, что две окружности взаимно касаются изнутри (рис. 36). При этом ограниченная часть плоскости, находящаяся внутри замкнутого контура, и будет давать нам двуугольник с углом, равным нулю. Точно так же, если две окружности взаимно касаются извне (рис. 37), то часть плоскости, находящаяся вне этих окружностей, тоже дает двуугольник с углом, равным нулю. Если а — координата точки касания, то, - совершая дробно-линейное преобразование

мы преобразуем окружности в параллельные прямые, и сам двуугольник перейдет в полосу, ограниченную этими двумя параллельными прямыми.

Совершая затем преобразование подобия, а также параллельный перенос и поворот, т. е. некоторое линейное преобразование, всегда можно добиться того, чтобы эта полоса была ограничена двумя наперед заданными параллельными прямыми, например прямыми

Поставим теперь себе задачу найти регулярную функцию, которая преобразовывала бы эту полосу в верхнюю полуплоскость. Мы знаем, что функция преобразует нашу полосу во всю плоскость w с разрезом вдоль положительной части вещественной оси.

Рис. 36.

Рис. 37.

Совершая затем преобразование , получим, очевидно, верхнюю полуплоскость, т. е. окончательно функция, преобразующая нашу полосу в верхнюю полуплоскость, будет .

Из предыдущего непосредственно следует также, что сама функция преобразует в верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную прямыми . Совершая над переменной дробно-линейное преобразование, преобразующее верхнюю полуплоскость в единичный круг [33], получим функцию

преобразующую полосу, ограниченную прямыми , в единичный круг.

Рассмотрим более подробно один частный случай двуугольника, а именно верхний полукруг, построенный на отрезке вещественной оси, как на диаметре. Функция

преобразует вершины этого двуугольника в точки а диаметр и полуокружность переходят при этом в две прямые, причем угол между этими двумя прямыми будет вдвое больше соответствующего угла в полукруге, т. е. будет просто равен

Иначе говоря, наши две полупрямые образуют одну прямую, а именно, как нетрудно видеть, вещественную ось, причем при обходе контура полукруга против часовой стрелки мы двигаемся по вещественной оси от т. е. функция (38) преобразует наш полукруг в верхнюю полуплоскость. Совершая еще дробнолинейное преобразование (26), получим функцию

преобразующую наш полукруг в единичный круг.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление