Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

40. Случай внешности многоугольника.

Рассмотрим часть плоскости, лежащей вне многоугольника (рис. 44). Эта односвязная область содержит бесконечно далекую точку . Сумма углов, содержащихся в равна , и, обозначая эти углы по-прежнему через , получим соотношение

Рис. 44.

Пусть функция, совершающая конформное преобразование единичного круга на В, причем мы считаем, что точке соответствует из чего следует, что есть полюс первого порядка.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из [38], получим

где — точки окружности , соответствующие вершинам ломаной линии.

Заменяя на мы получим, принимая во внимание (55), формулу того же вида, что и формула (56), для конформного преобразования области на многоугольник.

Сделаем одно замечание по поводу формулы (56), считая, что она дает преобразования области на многоугольник. Разлагая подинтегральную функцию вблизи получим, принимая во внимание (55),

Коэффициент при должен обращаться в нуль, ибо в противном случае точка была бы точкой ветвления бесконечного порядка.

Это приводит к следующему соотношению:

Если предположить, что формула (56) дает преобразование круга на многоугольник, то, строя разложение подинтегральной функции в начале, придем к соотношению

Оно совпадает с (58), ибо по условию и, следовательно, числа вещественны (и положительны).

Рассмотрим в качестве примера преобразование на часть плоскости, находящуюся вне квадрата. В силу его симметрии точки делят окружность на равные части, и мы можем считать, что это будут точки

Для углов имеем

так что окончательно

Значение постоянных А и В зависит от длины сторон квадрата и его расположения на плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление