Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

45. Задача полного обтекания.

Положим, что нам задан на плоскости простой замкнутый контур и мы ищем течение жидкости вне этого контура, которое бы удовлетворяло следующим двум условиям: 1) контур l должен быть одной из линий тока и 2) скорость на бесконечности должна быть определенной по величине и направлению. Будем, кроме того, требовать, чтобы комплексный потенциал был однозначной функцией. Не ограничивая общности, можем считать, что скорость на бесконечности характеризуется некоторым вещественным положительным числом с (т. е. выберем направление скорости на бесконечности за положительное направление вещественной оси).

Положим, что известна функция, конформно преобразующая часть плоскости z, находящуюся вне на внешность единичного круга . Таких функций, как известно, бесчисленное множество, и мы берем ту из них, которая преобразует бесконечно далекую точку в самое себя и не меняет направлений в этой точке. Для этой функции есть вещественное положительное число, так что имеем следующее ее разложение вблизи точки

Как нам уже известно, выражение комплексного потенциала для задачи обтекания окружности представляется так:

где k — некоторая вещественная постоянная, которую мы дальше определим. Если подставим в выражение (102) вместо его выражение (101), то получим функцию однозначную, регулярную вне контура мнимая часть которой сохраняет постоянное значение на контуре так как мнимая часть (102) сохраняла постоянное значение на окружности

Остается теперь только подобрать постоянную k так, чтобы скорость на бесконечности была равна с, т. е. так, чтобы . Мы имеем, очевидно, на бесконечности, принимая во внимание формулы (101) и (102),

откуда и следует непосредственно, что мы должны считать

Мы видим, таким образом, что задача полного обтекания некоторого контура приводит к задаче конформного преобразования части плоскости вне этого контура на внешность единичного круга.

Можно показать, что при условии однозначности функции решение задачи единственно, причем предполагается, что вне l не имеет особых точек, кроме простого полюса .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление