Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

46. Формула Н. Е. Жуковского.

Пусть комплексный потенциал, который дает обтекание контура причем на бесконечности скорость равна положительному числу с. Будем считать, что не является однозначной функцией, но при обходе вокруг контура l вещественная ее часть получает постоянное слагаемое у. Составляющие давления на обтекаемое тело будут выражаться, очевидно, криволинейными интегралами

где величина давления и — направление внутренней нормали к контуру.

Элементу контура как вектору, соответствует комплексное число где — угол, образованный касательной к контуру с осью ОХ.

Поскольку умножению комплексного числа на l соответствует добавление к аргументу комплексному числу соответствует вектор величины направленный по внутренней нормали к мы будем, очевидно, иметь

Согласно формуле (97)

и поэтому

Но ясно, что

и, кроме того, удобно перейти в предыдущем равенстве к комплексным сопряженным значениям, после чего получим

Так как контур l есть линия тока, то на нем постоянна: и, следовательно, на l

откуда следует, что . Умножив обе части (106) на l, получим комплексное выражение, которое будет вполне характеризовать вектор общего давления, испытываемого обтекаемым телом:

или окончательно

Функцию мы считаем уже регулярной и однозначной вне . В окрестности бесконечности она должна иметь разложение вида

где с есть как раз заданное значение скорости на бесконечности.

Для самой функции мы имеем в окрестности бесконечности выражение

и при обходе вокруг в положительном направлении функция будет, очевидно, приобретать слагаемое которое раньше было обозначено буквой у. Таким образом, мы должны иметь и вместо (108) можем написать

Отсюда, возводя в квадрат, получим разложение вида

При вычислении интеграла (106) мы можем, в силу теоремы Коши, производить интегрирование не по самому контуру а по замкнутой кривой, обходящей вокруг I и расположенной в окрестности бесконечно далекой точки. При этом интегрировании мы можем воспользоваться разложением (109) и, как нетрудно видеть, получим для R следующее выражение:

т. е.

Эти формулы были впервые даны Н. Е. Жуковским.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление