Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

58. Интегрирование рациональной дроби.

Рассмотрим интеграл от рациональной дроби

Для того чтобы такой интеграл имел смысл, необходимо и достаточно [II, 86], чтобы полином стоящий в знаменателе, не имел вещественных корней и чтобы его степень по крайней мере на две единицы превышала степень полинома . Если мы рассмотрим при этом функцию комплексного переменного

то она, очевидно, будет обладать тем свойством, что произведение будет стремиться к нулю при и притом равномерно т. е. независимо от способа стремления z к бесконечности. Точнее говоря, эта равномерность будет сводиться к следующему: для любого малого положительного существует такое положительное что если только . Покажем, что если функция удовлетворяет этому условию, то интеграл от нее по любой дуге окружности стремится к нулю при беспредельном возрастании

Лемма. Если непрерывна в окрестности бесконечно далекой точки и равномерно при , то интеграл от по любой дуге окружности стремится к нулю при беспредельном возрастании

Применяя к интегралу обычную оценку из [4], мы будем иметь

где — длина упомянутой дуги которая, очевидно, не превышает так что окончательно

Принимая во внимание, что на нашей дуге стремится к нулю при беспредельном возрастании R, мы и получаем непосредственно утверждение нашей леммы.

Вернемся к нашему примеру и проинтегрируем рациональную дробь по контуру, состоящему из отрезка вещественной оси и полуокружности в верхней полуплоскости, имеющей упомянутый отрезок диаметром. Мы можем взять R настолько большим, чтобы все полюсы функции лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри построенного полукруга. Обозначая построенную полуокружность через имеем

где через мы обозначили сумму вычетов функции относительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости. При беспредельном увеличении R правая часть равенства не будет меняться, а второе слагаемое левой части будет, согласно лемме, стремиться к нулю, и мы получим в пределе

т. е. интеграл (10) от рациональной дроби равен произведению на сумму вычетов подинтегральной функции относительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости.

Пример. Рассмотрим интеграл

В данном случае в верхней полуплоскости находится единственный полюс подинтегральной функции порядка . Для определения вычета в этом полюсе мы должны, согласно [21], помножить подинтегральную функцию на полученное произведение продифференцировать

раз по z, разделить на и положить затем т. е. искомый вычет определяется по формуле

или

и окончательно будем иметь

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление