Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

60. Лемма Жордана.

Можно облегчить те условия, которые мы наложили на функцию в предыдущем номере для того, чтобы формулы (17) и (18) имели место. Для этого докажем важную для дальнейшего лемму.

Лемма Жордана. Если в верхней полуплоскости и на вещественной оси удовлетворяет условию: равномерно при есть некоторое положительное число, то при

где есть полуокружность с центром в начале координат и радиусом R, находящаяся в верхней полуплоскости.

Вводя полярные координаты , перепишем интеграл (24) в виде

и отсюда, принимая во внимание, что будем иметь

или

По условию стремится к нулю при равномерно относительно при , и, следовательно, нам достаточно показать, что при интеграл

будет ограниченной величиной. Разбивая промежуток интегрирования на два: к , и заменяя во втором из интегралов переменное на , мы приведем интеграл (26) к виду

Будем теперь поступать так же, как мы это делали в [66]. Разбивая промежуток интегрирования на две части и увеличивая положительную подинтегральную функцию, получаем неравенство

Последние два интеграла берутся до конца и приводят нас к следующему неравенству:

Второе из написанных слагаемых стремится, очевидно, к нулю при , а первое стремится к конечному пределу так, что вся сумма остается ограниченной при . То же самое подавно можно утверждать и относительно интеграла (26), откуда и следует результат леммы.

Пользуясь установленной леммой, мы можем доказать, например, формулу (18) при более легких требованиях по отношению к функции . Действительно, раньше мы требовали, чтобы в верхней

полуплоскости и на вещественной оси при и это требование было нам необходимо для того, чтобы интеграл

по верхней полуокружности стремился к нулю при . Согласно лемме, мы знаем, что для этого достаточно потребовать лишь, чтобы и, таким образом, можем применять формулу (18) лишь в этом предположении.

Пример. Рассмотрим интеграл

В данном случае функция

удовлетворяет всем условиям для формулы (18), и, следовательно, мы должны, как и раньше, определить лишь вычет функции

в полюсе находящемся в верхней полуплоскости. Это будет полюс первого порядка, и соответствующий вычет определяется по обычному правилу: числитель, деленный на производную от знаменателя, т. е.

и окончательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление