Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

69. Построение целой функции по ее корням.

Пользуясь предыдущими соображениями, мы сможем построить целую функцию по заданным ее корням. Заметим прежде всего, что корни целой функции не могут иметь предельных точек на конечном расстоянии. Если бы такая точка существовала, т. е. если бы в любом малом круге с центром находилось бесчисленное множество корней целой функции, то эта целая функция должна была бы тождественно равняться нулю [18]. Повторяя рассуждения из [64], мы убеждаемся, что во всяком случае корни целой функции могут быть расположены в порядке неубывающего модуля:

причем при . Заметим, что если некоторое число а фигурирует q раз среди чисел то это значит, что соответствующий корень а должен быть корнем кратности q. Мы пока считаем, кроме того, что не участвует среди заданных чисел

Ограничим нашу задачу рассмотрением одного частного случая, наиболее важного в приложениях, а именно будем считать, что настолько быстро удаляются на бесконечность, что существует такое целое положительное число что ряд

есть ряд сходящийся. Мы будем считать .

Построим бесконечное произведение

и покажем, что оно будет удовлетворять всем условиям, указанным в предыдущем номере. Рассмотрим некоторый круг Начиная с некоторого значка числа будут находиться вне круга так что при члены произведения (104) не будут иметь корней в круге С и для всякого принадлежащего мы будем иметь

где определенное положительное число, меньшее единицы. Рассмотрим ряд (100) для данного случая:

В силу (105) можно воспользоваться разложением логарифма в степенной ряд и получим при таком выборе значения логарифма для ряда (106) следующую формулу:

Исследуем общий член этого ряда

Мы имеем, очевидно,

или в силу (105), вынося за скобки и принимая во внимание, что в круге

т. е.

В силу сходимости ряда положительные числа, стоящие в правой части последнего неравенства, образуют сходящийся ряд, и, следовательно, ряд (106) будет сходиться абсолютно и равномерно в круге . Таким образом, мы можем утверждать, что бесконечное произведение (104) представляет собою целую функцию и что корни этой целой функции определяются корнями сомножителей, т. е. что корни этой целой функции суть числа

Если мы имеем какую-нибудь целую функцию корни которой суть то частное будет целой функцией без корней, т. е. это частное будет иметь вид и мы получим таким образом следующее представление для целой функции

где некоторая целая функция. До сих пор мы предполагали, что точка не является корнем функции. Если эта точка есть корень кратности , то следует только добавить к правым частям формул (104) и (107) множитель

Рассмотрим в качестве примера функцию Она имеет простой корень и простые корни

В данном случае имеем так как ряд

как мы уже упоминали выше, сходится. Применяя формулу и добавляя множитель z, мы получим

Целая функция не может быть, конечно, определена из предыдущих общих соображений. Результаты [67] показывают, что в данном случае эта функция равна тождественно нулю.

Заметим, что если , т. е. если сходится ряд

то, рассуждая, как и выше, можно вместо формулы (107) написать формулу

В дальнейшем мы будем иметь еще примеры применения формулы (104), которая называется обычно бесконечным произведением Вейерштрасса.

Может случиться, что числа заданы так, что ряд (103) расходится при всяком целом положительном . Это будет, например, если мы положим Действительно, ряд с общим членом расходится при всяком положительном , так как сумма его первых членов больше, чем

а это последнее выражение, как нетрудно показать, применяя хотя бы правило Лопиталя, беспредельно возрастает вместе с k. В случае расходимости ряда (103) при всяком целом положительном составим бесконечное произведение

где

и будет зависеть от k. Повторяя вышеуказанные оценки, мы убедимся в том, что для сходимости бесконечного произведения (108) достаточна сходимость при всяком ряда

Достаточно для этого взять . Действительно, применяя признак Коши [I, 121] к ряду

получим

т. е. ряд действительно сходится. Можно показать, что для сходимости ряда достаточно взять такими, чтобы имело место неравенство: .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление