Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

74. Представление Г(z) контурным интегралом.

Укажем представление функции в виде контурного интеграла, справедливое при всяком z. Если z находится правее мнимой оси, то мы имеем

Рассмотрим подинтегральную функцию

как функцию комплексного переменного к Эта функция имеет точку разветвления Проведем на плоскости t разрез вдоль положительной части вещественной оси к На разрезанной таким образом плоскости функция (147) будет однозначной, причем мы будем считать вещественным числом на верхнем берегу разреза, т. е. будем считать на этом берегу. Вместо интегрирования по верхнему берегу вещественной оси рассмотрим новый контур интегрирования изображенный на рис. 63. Этот контур идет из обходит вокруг начала и возвращается опять на . В силу теоремы Коши мы можем, не меняя величины интеграла

произвольным образом деформировать контур не затрагивая особой точки и удерживая оба конца контура на Выясним теперь связь интеграла (148) с функцией причем будем считать, что z находится справа от мнимой оси. Деформируя контур мы можем достигнуть того, чтобы путь интегрирования состоял из следующих трех частей: 1) из отрезка верхнего берега разреза; 2) из окружности с центром и радиусом и 3) из отрезка нижнего берега разреза. На верхнем берегу в подинтегральной функции имеет вещественные значения. При переходе на нижний берег приобретет слагаемое так что на нижнем берегу подинтегральная функция будет

где имеет по-прежнему вещественные значения. Имеем, таким образом,

где — некоторое заданное положительное число. Покажем, что при интеграл по окружности стремится к нулю. Действительно, на этой окружности множитель ограничен по модулю, независимо от а множитель имеет оценку

т. е. будет или величиной бесконечно малой, если или будет стремиться к бесконечности порядка Принимая во внимание, что по предположению и что длина пути интегрирования будет мы непосредственно убеждаемся, что упомянутый интеграл действительно стремится к нулю. Таким образом, формула (149) в пределе дает нам

Рис. 63.

или, принимая во внимание определение

Последнюю формулу можно еще записать в виде

Контур I не проходит через начало координат и поэтому мы можем уже не ограничивать себя рассмотрением лишь тех значений которые лежат справа от мнимой оси. Как и при рассмотрении интеграла (113) из [71], мы можем убедиться, что интеграл (148) представляет целую функцию от z. Формула (150) доказана нами лишь для z, лежащих правее мнимой оси, но в силу принципа аналитического продолжения она будет справедливой на всей плоскости z. Формула (151) дает представление мероморфной функции в виде частного двух целых функций. Знаменатель обращается в нуль при всех целых как положительных, так и отрицательных значениях z. Целые отрицательные z и дают полярность Если z равно целому положительному числу, то подинтегральная функция (147) будет однозначной и регулярной функцией от t на всей плоскости (т. е. будет целой функцией от и по теореме Коши интеграл от нее по замкнутому контуру l будет равен нулю, т. е. при целом положительном z в правой части формулы (151) и числитель и знаменатель обращаются в нуль, и эти значения z не будут полюсами функции

Рис. 64.

Заменим в формуле (150) z на

Введем вместо t новую переменную интегрирования , полагая

где контур, изображенный на рис. 64. Плоскость получается из плоскости t вращением около начала на угол . Разрез по положительной части вещественной оси плоскости t перешел в разрез по отрицательной части вещественной оси плоскости , причем нижний берег нового разреза соответствует верхнему берегу прежнего разреза. На этом нижнем берегу нового разреза мы должны

считать Подставляя выражение (153) в формулу (152) и умножая обе части равенства получим

или

откуда, пользуясь формулой (122), получим выражение в виде контурного интеграла:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление