Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

78. Метод скорейшего спуска.

Изложим в следующих номерах метод приближенного вычисления контурных интегралов определенного типа. Предварительно мы выясним некоторые вопросы, связанные с изменением вещественной и мнимой частей регулярной функции. Пусть в области В имеется функция

В каждой точке В, в которой производная отлична от нуля, будет существовать направление в котором и меняется наиболее быстро. Это направление есть направление вектора и производная, взятая в этом направлении (и в противоположном направлении), имеет наибольшее по абсолютной величине значение. Производная от и в направлении , перпендикулярном к равна, очевидно, нулю [II, 108]. Поле направлений определяет линии уровня и а ортогональное поле определяет семейство ортогональных траекторий к этим линиям уровня, т. е. семейство Таким образом, можно сказать, что в каждой точке, где отлично от нуля, и изменяется наиболее быстро вдоль линии Отметим, что при этом вдоль упомянутой линии отлично от нуля. Если бы оказалось, что в некоторой точке не только но и равно нулю, то в этой точке производная от и по любому направлению была бы равна нулю, а отсюда следует, что в этой точке и производная обращается в нуль.

Исследуем теперь расположение наших линий в окрестности точки в которой Мы имеем в окрестности такой точки

Обозначая

и приравнивая вещественную и мнимую части разности нулю, получим следующие уравнения линий и в окрестности

Рассмотрим уравнение (182). При получаем

т. е.

где — любое целое число. Полагая получаем все различные решения уравнения (182) относительно при

Нетрудно видеть, что

и, следовательно, согласно теореме о неявных функциях [I, 159], уравнение имеет решений для непрерывных по отношению к и стремящихся к при т. е. уравнению (182) соответствуют линий, выходящих из точки и имеющих в этой точке касательные с аргументами <от. Но и мы будем иметь линий, проходящих через точку и имеющих в этой точке определенную касательную. Эти линии разобьют окрестность на криволинейных секторов с одинаковыми углами — при вершине. Внутри этих секторов, в окрестности мы будем иметь попеременно а именно:

Это следует непосредственно из того, что знак левой части уравнения (182) при заданном , отличном от (184), и достаточно близком к нулю определяется знаком первого слагаемого.

Рассматривая совершенно так же уравнение (183), мы убедимся в том, что это уравнение определяет линий, проходящих через точку причем касательные к этим линиям служат биссектрисами углов, определяемых касательными к линиям (182).

Точку назовем седловой точкой, секторы отрицательными секторами и секторы положительными секторами.

При нумерации секторов (число ) мы, естественно, считаем, что - фиксированное число. При добавлении к слагаемого, кратного меняется лишь нумерация секторов. Рассмотрим отрицательный сектор с номером Линия имеющая уравнение и расположенная в этом секторе вблизи точки чимеет в точке касательную, являющуюся биссектрисой угла этого сектора, и угол наклона этой касательной, как нетрудно видеть, равен

Внутри этого сектора , а линия l есть линия скорейшего убывания в точке функции и Все это относится к некоторой окрестности точки

Применим сказанное выше к вычислению интегралов вида

где функции регулярны в окрестности точки — большое положительное число. Положим, что контур начало в точке и расположен в окрестности в отрицательном секторе с номером Согласно теореме Коши мы можем считать, что контур l расположен в окрестности вдоль линии При этом имеет при большом в точке резкий максимум. Линия есть линия скорейшего спуска, т. е. быстрейшего уменьшения и надо ожидать, что главную часть интегралу (186) даст интегрирование по малому участку линии l вблизи точки

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление