Главная > Математика > Курс высшей математике, Т.3. Ч.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

81. Метод стационарной фазы.

Мы кратко изложим теперь асимптотическое представление таких интегралов, в которых один из множителей подинтегральной функции дает колебательный режим с большой частотой к.

Роль малого параметра при этом будет играть величина Будем рассматривать интегралы вида

где k — вещественный параметр и вещественная функция, которая называется обычно фазой соответствующего колебательного режима:

Аналитичность функций пока не предполагается, но будет предполагаться, что они имеют на промежутке интегрирования непрерывные производные до определенного порядка или всех порядков.

Как оказывается, существенную роль при оценке интеграла (226) играют два фактора: значение функции на концах промежутка интегрирования и те значения при которых (точки стационарности фазы). Особо значительное влияние на величину интеграла оказывают точки стационарности фазы. Прежде чем переходить к общим результатам, приведем элементарных примеров. Рассмотрим интеграл

Функция обращается в нуль при а производная функции не обращается в нуль. Второй интеграл правой части (227) обращается в нуль в силу нечетности а первый вычисляется при помощи дифференцирования по параметру, и мы получаем

т. е. убывает при по показательному закону.

Рассмотрим еще интеграл

в котором Нетрудно показать, что откуда следует, что имеет порядок при

Перейдем теперь к изложению некоторых общих простых результатов, которые получаются применением интегрирования по частям.

Теорема 1. Пусть промежуток конечен, бесконечно дифференцируема на нем и обращается в нуль со всеми производными на концах промежутка. Пусть, далее, также бесконечно дифференцируема и ее производная отлична от нуля на промежутке При этом, если то

для любого целого .

Интегрируя по частям и принимая во внимание, что , получим

и т. д. Все функции бесконечно дифференцируемы и равны нулю на концах промежутка. При применении указанной операции раз получаем»

и

Замечание 1. Если предположить непрерывную дифференцируемость лишь до некоторого порядка N, то утверждение теоремы будет иметь место при .

Замечание 2. При некоторых естественных оговорках утверждение теоремы будет иметь место и для бесконечного промежутка интегрирования.

Предположим теперь, что функция и все ее производные равны нулю при но могут быть отличны от нуля при . Предположение при сохраним. При интегрировании по частям сохранятся внеинтегральные члены при и мы получим для интеграла следующее асимптотическое представление при большом к.

Легко выразить значения первых коэффициентов через значения и их производных при . При наличии стационарных точек, т. е. точек, в которых производная обращается в нуль, исследование интеграла значительно усложняется, и мы приведем лишь некоторые простейшие результаты но этому поводу. Можно показать, что в случае конечного числа стационарных точек на промежутке йнтегрирования задача сводится к исследованию промежутка с одной стационарной точкой.

Приведем теорему, доказательство которой можно найти в книге: Э. Копсон, Асимптотические разложения, 1966. Предполагается, что регулярны в некоторой области, внутри которой находится промежуток вещественная функция на вещественной оси.

Теорема 2. Пусть имеет на промежутке единственную стационарную точку . При этом, если то

а если , то

Совершенно такая же теорема имеет место, если

Результаты получаются иными, если Если, например, при этом , то

Более общие результаты по методу стационарной фазы имеются в книге: А. Эрдей и, Асимптотические разложения, 1962.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление