Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

102. Струна и мембрана.

Прежде чем переходить к установлению вариационного принципа в общей теории упругости, мы рассмотрим ряд частных случаев упругих тел, размеры которых в одном или двух измерениях значительно больше, чем в остальных измерениях. Здесь установление вариационного принципа сводится, по существу, к некоторым предположениям о потенциальной энергии, т. е. о работе сил деформации в зависимости от формы деформируемого тела.

Пусть имеется струна, натянутая вдоль оси и совершающая плоские поперечные колебания в плоскости [II; 176]. Кинетическая энергия колеблющейся струны будет выражаться формулой

где — линейная плотность струны, абсциссы ее концов. Будем считать, что работа сил деформации выражается произведением натяжения струны на ее удлинение:

Разлагая радикал по биному Ньютона и ограничиваясь двумя первыми членами, мы получаем следующее выражение для потенциальной энергии деформации:

В случае внешней силы рассчитанной на единицу длины, нам надо добавить к потенциальной энергии еще слагаемое

окончательно принцип Остроградского—Гамильтона сведется к необходимому условию для интеграла

Интегрирование совершается по прямоугольнику на плоскости . На сторонах этого прямоугольника в случае закрепленной струны мы имеем предельное условие и на сторонах функция и должна совпадать с функциями и дающими форму струны в начале и конце промежутка

Если на концы струны действуют упругие силы, то, принимая во внимание, что потенциал упругой силы пропорционален квадрату отклонения, мы должны к интегралу (244) добавить слагаемое такого вида:

По существу, этот добавочный член представляет собой интеграл по контуру упомянутого выше прямоугольника, причем на сторонах подынтегральная функция равна нулю, а на сторонах она равна Принимая во внимание сказанное в [84], а также то обстоятельство, что на стороне внешняя нормаль направлена противоположно оси мы будем иметь на сторонах естественные предельные условия вида:

Уравнение Остроградского для двойного интеграла (244) даст нам обычное уравнение колебаний струны.

Совершенно так же надо рассуждать для получения уравнения колебания мембраны [II; 189]. Положим, что в естественном состоянии мембрана натянута в плоскости и натяжение, рассчитанное на единицу длины. Работа сил деформации будет выражаться произведением на приращение площади

где — отклонение точки мембраны в момент времени t от положения равновесия и В — область плоскости занятая мембраной. Ограничиваясь малыми колебаниями, мы получим следующее выражение для интеграла (235):

Уравнение Остроградского для написанного интеграла приведет нас к известному уравнению колебания мембраны. Если на границе имеется упругая связь с коэффициентом , то к интегралу (245) надо добавить слагаемое

где Z — конгур мембраны. В данном случае естественные граничные условия принимаю! вид

где - направление внешней нормали к . В случае же закрепленной мембраны граничные условия будут, очевидно, и .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление