Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

107. Общий случай функционалов при нескольких независимых переменных.

Мы сейчас кратко коснемся вопроса об абсолютном минимуме для функционалов общего вида. Рассмотрим сначала случай функционала

где их, и подынтегральная функция не содержит . Пусть В — конечная односвязная область с гладкой границей, непрерывна по всем своим аргументам и имеет непрерывные производные до второго порядка по и q при всех и q из промежутка когда точка принадлежит замкнутой области В. Положим, что при этих условиях выполнены неравенства

и

Уравнение Остроградского для функционала (280) имеет вид

Положим, что оно имеет решение с непрерывными производными до второго порядка внутри В, причем сама функция и ее первые производные непрерывны в В. Пусть любая функция, непрерывная вместе с производными первого порядка в В и равная нулю на границе l в области В. Разложим функционал по степеням а до порядка и положим затем Из условий для следует, что

коэффициент при а будет равен нулю [74]:

Принимая это во внимание, получим

причем функции в (284) имеют аргументы где - частные производные от по х и у, а функции удовлетворяют неравенствам Из (281) и (282) следует, что выражение, стоящее в квадратных скобках, есть положительная величина, и следовательно, причем равенство имеет место только при дает функционалу наименьшее значение по сравнению со всеми другими непрерывными функциями с непрерывными производными в В, имеющими на l те же значения, что и Условия (281) и (282) можно, очевидно, записать в виде одного неравенства которое должно выполняться при всех значениях вещественных параметров . Совершенно аналогично, для функционалов вида

при любом неравенство

в котором - произвольные вещественные параметры, не равные одновременно нулю, гарантирует то, что решение уравнения Остроградского дает наименьшее значение функционалу J по сравнению со всеми гладкими функциями, совпадающими на .

Если подынтегральная функция содержит и саму функцию и то условие (285) надо заменить следующим:

при любых вещественных значениях таких, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление