Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ L1 И L2. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОБЛЕМА МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО

ФУНКЦИОНАЛА

110. Усреднение функций из L1 и L2.

Настоящую главу мы посвятим некоторым вопросам теории функций вещественного переменного, связанным в основном с функциональными пространствами , о которых мы говорили в томе II [161 — 163] и в начале настоящего тома [22, 23, 62]. В конце главы будет рассмотрена вариационная задача для функционала, содержащего частные производные. При этом само определение частных производных будет существенным образом изменено (обобщенные производные). В дальнейшем все функции считаются вещественными. Мы начнем с процесса усреднения любой функции принадлежащей или 12. Этот процесс дает возможность построить функции, имеющие производные всех порядков, и сколь угодно близкие к в метрике или соответственно.

Определим сначала «усредняющее ядро». Введем функцию одного вещественного независимого переменного, определяемую следующим образом:

при 1, причем постоянную с определим ниже. Вопрос о непрерывности функции и ее производных возникает только при . Если от меньших значений, то Производная любого порядка от функции по при имеет, очевидно, вид

где некоторый полином и а — целое положительное число. При от меньших значений, раскрывая неопределенность,

убедимся в том, что выражение стремится к нулю. Мы видим, таким образом, что функция имеет производные всех порядков при Дальше мы будем рассматривать пространство с декартовыми координатами . Мы часто будем обозначать точки этого пространства одной буквой или и т. д. Расстояние между двумя точками х и у из обозначим следующим образом:

Фиксируем какую-нибудь точку у из и положительное число и рассмотрим функцию . Она непрерывна в и имеет все непрерывные частные производные по . Эта функция отлична от нуля лишь в шаре радиуса h с центром в точке у. Постоянную с определим из условия

Пусть - функция, суммируемая по некоторой ограниченной области или, общее, по некоторому ограниченному открытому множеству. В этом случае обычно пишут Совершенно аналогично пишут если точка принадлежит множеству . Если принадлежит или то пишут или . Продолжим и вне S) нулем, т. е. будем считать если находится вне Введем теперь функции - средние для функции и ):

Здесь и в дальнейшем, если нет обозначения области интегрирования, считается, что интегрирование производится по всему Фактически в интеграле (3) оно производится по шару с центром и радиусом h, ибо вне этой сферы подынтегральная функция равна нулю, и значения определяются только значениями и в упомянутом шаре.

В частности, если вне а расстояние от до границы области не меньше h, ибо продолжена нулем вне . Отметим еще, что в силу (2)

Для доказательства (4) достаточно использовать замену переменных интегрирования .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление