Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Вырожденные уравнения.

Укажем теперь класс интегральных уравнений, решение которых сводится к алгебраическим уравнениям первой степени. Ядро называется вырожденным, если оно представляет собой конечную сумму произведений функций только от 5 на функции только от

Функции так же как и функции мы можем считать линейно-независимыми. Если бы некоторое выражалось линейно через остальные , то мы могли бы подставить это выражение в (85). При этом число слагаемых уменьшилось бы.

Рассмотрим уравнение с таким ядром и союзное с ним уравнение:

Принимая во внимание (85), получим

или

где и — некоторые числа, определяемые равенствами

Таким образом, всякое решение уравнений (87) должно иметь вид (88), и все сводится к нахождению не функций, а чисел

Подставляя выражения (88) в уравнения (87) и приравнивая коэффициенты при линейно-независимых функциях получим для определения две системы уравнений:

где

Определители систем и (892) отличаются лишь заменой строк столбцами.

Если, например, определитель системы отличен от нуля, то при любых мы получим определенные значения для . Подставляя их в (88), будем иметь Однородным уравнениям

будут соответствовать однородные системы:

Приравнивая определитель одной из этих систем (все равно какой) нулю, мы получим алгебраическое уравнение для определения характеристических значений. Если какой-либо корень этого уравнения, то система имеет решение отличное от нулевого, и, подставляя его в формулу

получим собственную функцию.

Доказанные выше теоремы сведутся в данном случае к известным теоремам линейной алгебры [III; 8, 9, 10, 15].

Отметим, что мы можем получить однородную систему и для неоднородного уравнения (87), если только все числа равны нулю, т. е.

Если при этом не есть характеристическое значение, то система (91 ±) даст нам только нулевое решение, и в силу (88) мы получим Это решение можно проверить непосредственной подстановкой его в (87), если принять во внимание (93). Вырожденными ядрами пользуются для приближенного решения интегральных уравнений, заменяя данное ядро близким к нему вырожденным ядром и затем с помощью указанного выше алгебраического аппарата решая полученное вырожденное уравнение. Этот метод приближенного решения интегральных уравнений, как и другие методы, изложены в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа» (1950 г.).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление