Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21. Аппарат Фредгольма для полярных ядер.

Рассмотрим интегральное уравнение с полярным ядром

где

В этом случае не имеет смысла и мы не имеем первого следа ядра Положим, что а При этом все повторные ядра, начиная со второго,

непрерывны и, следовательно, существуют следы

Вернемся к непрерывному ядру и напомним, что резольвента определялась формулой

где получалась перемножением двух степенных рядов:

Ряд для определялся при всех к по формуле (50), а для достаточно близких к нулю, по формуле

Умножая числитель и знаменатель дроби (132) на и обозначая

мы можем написать тождество, аналогичное (133):

Оно получается формально из (133), если выразить через следы и в (134) положить

Дробь

дает, очевидно, аналитическое продолжение выражения, стоящего в квадратных скобках формулы (134), на всю плоскость к.

Пока мы говорили о непрерывном ядре. В рассматриваемом случае полярного ядра (130) при можно показать, что

есть целая функция и что решение уравнения можно представить в виде

причем нули суть полюсы . Отметим еще, что все члены в , содержащие получаются только из элементов главной диагонали определителей, входящих в формулы для и что можно получить по упомянутым формулам, полагая

Исследование указанного выше случая принадлежит Гильберту. Совершенно аналогично, если в полярном ядре а таково, что повторные ядра непрерывны при то резольвенту можно представить в виде

где получается из , если положить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление