Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

24. Линейные ограниченные операторы в L2.

Систематическое изучение теории линейных операторов будет проведено в томе V. Здесь мы вкратце остановимся на простейших свойствах таких операторов.

Рассмотрим интегральный оператор

считая пока для простоты ядро непрерывным. В [4] было доказано, что оператор (153) преобразует любую функцию из класса в непрерывную функцию v(s). Эту последнюю можно также рассматривать как элемент пространства Таким образом, интегральный оператор (153) сопоставляет функции из функцию, также принадлежащую или, как говорят, является оператором в . Связь между u и v условимся кратко записывать в виде

Оператор (153) обладает свойством линейности:

Выведем еще одно важное свойство оператора К? Обозначим через М наибольшее значение функции в квадрате Оценивая подынтегральное выражение в (153), а затем применяя неравенство Буняковского, находим

Возводя в квадрат и интегрируя, получаем

или

Таким образом, мы доказали неравенство

где . Любой линейный оператор, для которого, при некоторой постоянной , выполнено неравенство (154),

называется ограниченным. В [25] будет указано более слабое, чем непрерывность ядра, условие ограниченности интегрального оператора вида (153). Заметим, что не всякий линейный ограниченный оператор в является интегральным. Примером может служить тождественный оператор, действующий по формуле

В неравенстве (154) число С, очевидно, можно заменить на любое большее. Определим 1 наименьшее возможное значение С. для данного оператора К. Пусть мы имеем

Если то норма элемента равна единице и, следовательно,

и мы получаем неравенство (154), т. е., неравенства (154) и (155) эквивалентны. Множество неотрицательных чисел при имеет точную верхнюю границу, которая в силу (155) и является наименьшим возможным значением С. Она обозначается или и называется нормой оператора К:

Для оператора (153) с непрерывным ядром

Если , то оператор К превращает любой элемент из в нулевой элемент (оператор аннулирования). Норма тождественного оператора очевидно, равна единице.

Всякий линейный ограниченный оператор К непрерывен, т. е. для любой последовательности элементов будет . В самом деле,

Линейные ограниченные операторы можно складывать и умножать:

причем произведение зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей. Нетрудно проверить, что

При возведении в целую положительную степень имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление