Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

33. Пространство CL2

Выше мы рассматривали ограниченные операторы в и доказали ряд их свойств. Техника, связанная с использованием понятий скалярного произведения, ортогональности функций и т. п., полезна также в теории линейных операторов, действующих в классе С непрерывных на функций. К числу таких операторов, как мы знаем ([4], [16]), относятся, например, интегральные операторы с непрерывным или полярным ядром. Мы введем сейчас понятия, позволяющие рассматривать теорию таких операторов параллельно с теорией операторов, действующих в пространстве

Обозначим через пространство функций, непрерывных на конечном промежутке с такими же, как в определениями скалярного произведения, нормы элемента и сходимости. Элементы этого функционального пространства, как и раньше, обозначаем через и т. д. Основное отличие пространства от С — отсутствие свойства полноты: если последовательность непрерывных на функций сходится в себе по норме пространства т. е.

то не всегда существует непрерывная функция такая, что

Понятия ограниченного линейного оператора в а также самосопряженного оператора, вводятся так же, как и в классе То же относится и к понятию вполне непрерывного оператора: линейный оператор К в называется вполне непрерывным, если он преобразует любое ограниченное по норме множество функций в компактное.

Из оценки, приведенной в [4], и из теоремы Арцела [15] следует, что интегральный оператор с непрерывным ядром вполне непрерывен в Тем же свойством обладают слабо полярные

ядра. В самом деле, пусть

причем и функция непрерывна. Пусть — две точки из промежутка . С помощью неравенства Буняковского находим

Интеграл в правой части оценивается так же, как в [16], причем необходимо учесть условие а . Из получаемой оценки следует, что функции отвечающие функциям и , где С — любое число, равностепенно непрерывны. Из неравенства

вытекает, что это семейство равномерно ограничено. Таким образом, оператор вида переводит любое ограниченное в (или даже в ) множество функций в компактное множество непрерывных функций. Тем более получающееся семейство функций компактно в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление